已知函数。映射问题。

函数f：｛1，2，3｝-->{1，2，3}  满足f(f(x))=f(x)。则这样的函数共有几个？

 

请分析一下。  最好写请每种情况的取值。

解:显然元映射f(x)=x满足函数方程，是一个解。
常函数显然也是解，即f(x)=1，2或者3。3个解。
这四个是平凡解，下面求非平凡解。

设f(x)=y≠x,那么f(y)=f(f(x))=f(x)=y,
剩下z, 首先f(z)≠y，否则成常函数了。
其次，若f(z)=x,则f(x)=f(f(z))=f(z)=x,与f(x)=y≠x矛盾.
故必有f(z )=z
所以非平凡解有两个不动点，一个变动点.
动点有3选，并且动点可映射至两个不动点之一，故非平凡解共是2×3种。

所以满足函数方程的解函数f(x)共有1+3+6=10个。

(`1,2,3) → (1,2,3)
(`1,2,3) → (1,2,2)
(`1,2,3) → (1,3,3)
(`1,2,3) → (1,2,1)
(`1,2,3) → (3,2,3)
(`1,2,3) → (1,1,3)
(`1,2,3) → (2,2,3)
(`1,2,3) → (1,1,1)
(`1,2,3) → (2,2,2)
(`1,2,3) → (3,3,3)

4=0^2+2^2或4=0^2+（-2）^2所以原像（2，0），（-2，0），（0，2），（0，-2）