线性代数难题求解

已知r（a₁ a₂ a₃ a₄）=3且为：B₁=（4，1，0，2），B₂=（6，0，0，-2）是非齐次线性方程组x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃+x₄*a₄ =m ,求齐次线性方程组x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃+x₄*a₄ =0 的所有非零解 。

解：

首先，齐次线性方程组x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃+x₄*a₄ =0中含有未知量个数为n=4，其系数矩阵

A=（a1 a2 a3 a4）的秩为3，因此，在其基础解系中应当含有n-r（a₁ a₂ a₃ a₄）=4-3=1个解向量。

为此，只要求出齐次线性方程组x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃+x₄*a₄ =0的一个非零解即可。

由于B₁=（4，1，0，2），B₂=（6，0，0，-2）是非齐次线性方程组x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃+x₄*a₄ =m 的解，由线性方程组解的性质可知B1-B2因为其导出组的解，即齐次线性方程组x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃+x₄*a₄ =0

的解。

B1-B2=（-2，1，0，4）

从而齐次线性方程组x₁*a₁+x₂*a₂+x₃*a₃+x₄*a₄ =0的通解为

x=k*（B1-B2），其中k不为0，（因为题目中求的是所有非零解）。