证明：若p/q是整系数多项式f(x)的有理根，其中p,q互素，则（p-q)|f(1).
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解决时间 2021-03-23 08:11
- 提问者网友：精神病院里
- 2021-03-22 19:17
证明：若p/q是整系数多项式f(x)的有理根，其中p,q互素，则（p-q)|f(1).
最佳答案
- 五星知识达人网友：封刀令
- 2021-03-22 20:47
设f(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a(0)
因为f(p/q)=0，得a(n)p^n+a(n-1)p^(n-1)q+...+a(0)q^n=0。
两边减去(a(n)+a(n-1)+...+a(0))q^n（即f(1)q^n），得
a(n)(p^n-q^n)+a(n-1)q(p^(n-1)-q^(n-1)+...+a(1)q^(n-1)(p-q)=-f(1)q^n，
左边式子里每个p^k-q^k都能提出p-q的因子，所以左边是(p-q)的倍数。
所以(p-q)|f(1)q^n，而p与q互素，所以p-q和q自然也互素，所以只能有(p-q)|f(1)。
因为f(p/q)=0，得a(n)p^n+a(n-1)p^(n-1)q+...+a(0)q^n=0。
两边减去(a(n)+a(n-1)+...+a(0))q^n（即f(1)q^n），得
a(n)(p^n-q^n)+a(n-1)q(p^(n-1)-q^(n-1)+...+a(1)q^(n-1)(p-q)=-f(1)q^n，
左边式子里每个p^k-q^k都能提出p-q的因子，所以左边是(p-q)的倍数。
所以(p-q)|f(1)q^n，而p与q互素，所以p-q和q自然也互素，所以只能有(p-q)|f(1)。
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