已知f(x)是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x²+x+1,求f(x)的表达式。要详细的解答过程。

已知f(x)是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x²+x+1,求f(x)的表达式。要详细的解答过程。

当x=0时，奇函数f（x）=0
当x<0时，-x>0
则
f（-x）=（-x）²-x+1=-f（x）
所以
f（x）=-x²+x-1
所以
f（x）={ x²+x+1 x>0
0 x=0
-x²+x-1 x<0

当x＜0时，-x＞0

∴f(-x)=(-x+a)/-x=(x-a)/x

∵f(x)是奇函数，

∴f(-x)=-f(x)，即f(x)=-f(-x)

∴当x＜0时，f(x)=(a-x)/x

表达式就是一个分段函数

奇函数f(0)=0 x<0则-x>0 所以此时f(-x)=(-x)²+(-x)+1 奇函数f(x)=-f(-x)=-x²+x-1 所以f(x)= -x²+x-1，x<0 0，x=0 x²+x+1，x>0

f(x) = -f(x) => f(0) =0 for x < 0 -x > 0 f(-x) = x^2 -x + 1 = - f(x) f(x) = -x^2+x +1 f(x) = x²+x+1 ( x > 0 ) = 0 ( x=0 ) = -x²+x+1 ( x<0 )

(1) x>0,f(x)=x²+x+1, (2) x=0 f(-0)=-f(0),f(0)=0 (3) x<0 -x>0 f(-x)=(-x)²+(-x)+1=x²-x+1 f(x)=-f(-x)= -x ²+x-1 {x²+x+1, x>0 所以 f(x)= { 0 x=0 {-x ²+x-1 x<0