有限单群的有限单群的完全分类

有限单群的有限单群的完全分类

20世纪初，W.伯恩赛德关于pαqъ阶群(p、是素数)必是可解群的定理，是有限单群分类问题早期最重要的工作。它说明非交换有限单群的阶至少有三个不同的素数。三四十年代之交，布饶尔开始利用他所创造的模特征标理论来研究有限单群问题，在这期间，段学复随布饶尔研究了阶含素数p仅为一次的群及其模特征标,1942年,他们一起完成了10000阶以下的单群分类。1945年合写了“论有限单群”的论文。他们的一些结果至今还被人引用，有的得到推广。1954年布饶尔关于对合的中心化子的定理，即设τ是偶阶单群G的一个对合即二阶元素，CG(τ)是其中心化子，则。于是，从已知偶阶单群的对合的中心化子出发，最多构造出有限多个单群。可用这结果去发现和构造一些新单群，许多零散单群就是这样发现的；更重要的是可以用中心化子来刻划群的构造，用于单群分类。这一定理标志了单群分类的新起点，而被称之为布饶尔纲领。布饶尔是近代有限单群分类工作的先驱。 　1962年，W.费特和汤普森关于奇阶群必为可解群的定理是单群分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群分类的重大突破,也是第一篇长文章(225页之多)。汤普森在文中初步建立并运用了p局部子群分析法,其后于1968～1974年间，他在关于极小单群（即所有真子群皆为可解群）及更一般的单N群（即所有p局部子群皆为可解群）的分类定理的证明中，完善了 p局部子群分析法。
1972年，D.戈朗斯坦提出的有限单群分类方案或计划，指出了如何才能实现有限单群的完全分类。虽然这个计划在后来作了某些修改，但是此后美、英、德、日等国的群论学家自发地组织起来按计划去攻克这个大问题，终于以10年左右的时间取得了数学史上的这项重大的成果。
有限单群分类问题的解决对有关问题的影响非常深远，有些长期存在的群论问题已经由于它的解决而解决或可以解决。例如，
①O.施赖埃尔猜想有限单群的外自同构群是可解的。
②有限单群皆可由两个元素生成；有限非交换单群的元素皆为换位子。
③除Sn和An外，不存在k≥6重传递置换群；所有双重传递群已被决定；所有素数p次置换群已知。
下述有限单群问题正在被研究并取得进展：
①整理和简化有限单群分类问题的全部论证。
②研究F1和模函数的关系，进而研究哪些单群能作为有理数域上的伽罗瓦群。
③用分类的结果去解决群论以及其他的数学问题，这种应用正迅速增加。
④进一步计算有限单群的常、模特征标和子群等。