如图所示,已知在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90°,D示斜边AB上任何一点

AE⊥CD于点E,已知在等腰直角三角形ABC中
如图所示,角ACB=90°，BF⊥CD交CD的延长线于点F。求证：CE=BF,D示斜边AB上任一点

证明：因为∠ACB=90度，
所以∠ACE+∠BCF=90度
因为AE⊥CD
所以∠ACE+∠CAE=90度
所以∠CAE=∠BCF
又因为AC=BC,∠CEA=∠CFB=90度
所以 △ACE≌ △BCF（AAS)
所以CE=BF

∠CAE+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90° → ∠CAE=∠BCF 又∠AEC=∠BFD=90° 等腰直角三角形 → AC=BC 根据（角角边定理）得到 △ACE≌ △BCF →CE=BF

∵∠eac+∠eca=90°=∠eac+∠fcb ∴∠eac=∠fcb 在rt△ace和rt△cbf中，∠eac=∠fcb，∠cea=∠bfc=rt∠,bc=ac ∴rt△ace≌rt△cbf ∴bf=ce 而∠bdf=∠cdh=90°-∠ech=∠cge 在rt△bdf和rt△cge中，∠bdf=∠cge，∠ceg=∠bfd=rt∠,bf=ce ∴rt△bdf≌rt△cge ∴bd=cg .

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°， ∴BD=AD， ∴D在AB的垂直平分线上， ∵AC=BC， ∴C也在AB的垂直平分线上， 即直线CD是AB的垂直平分线， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CDE=15°+45°=60°， ∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°； ∴∠CDE=∠BDE， 即DE平分∠BDC． （2）如图，连接MC． ∵DC=DM，且∠MDC=60°， ∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°， ∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°， ∴∠EMC=∠ADC． 又∵CE=CA， ∴∠DAC=∠CEM． 在△ADC与△EMC中， ∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC ， ∴△ADC≌△EMC（AAS）， ∴ME=AD=BD