已知函数f(x)=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，g(x)=f(x)+1/2x∧2-bx 求 1，实数a的值

2，若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围

曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率是f'(1)=2
则：
f'(x)=1＋(a/x)
f'(1)=1＋a=2
得：a=1
即：f(x)=x＋lnx

g(x)=x＋lnx＋(1/2)x²－bx
g'(x)=1＋(1/x)＋x－b=[x²－(b－1)x＋1]/(x)
则g'(x)在x>0时，满足：g'(x)≤0
x²－(b－1)x＋1≤0 【因为x>0】
得：
b－1≥x＋(1/x)
又：x＋(1/x)≥2
则：b－1≥2
得：b≥3

（1）∵f（x）=x+alnx， ∴f′（x）=1+ a x ， ∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直， ∴k=f′（x）|x=1=1+a=2， 解得a=1． （2）∵g（x）=lnx+ 1 2 x2-（b-1）x， ∴g′（x）= x2?(b?1)x+1 x ，x＞0， 由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解， 即x+ 1 x +1-b＜0有解， ∵定义域x＞0， ∴x+ 1 x ≥2， x+ 1 x ＜b-1有解， 只需要x+ 1 x 的最小值小于b-1， ∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}． （3）∵g（x）=lnx+ 1 2 x2-（b-1）x， ∴g′（x）= x2?(b?1)x+1 x =0，∴x1+x2=b-1，x1x2=1 ∴g（x1）-g（x2）=ln x1 x2 - 1 2 （ x1 x2 - x2 x1 ） ∵0＜x1＜x2， ∴设t= x1 x2 ，0＜t＜1， 令h（t）=lnt- 1 2 （t- 1 t ），0＜t＜1， 则h′（t）=- (t?1)2 2t2 ＜0， ∴h（t）在（0，1）上单调递减， 又∵b≥ 7 2 ，∴（b-1）2≥ 25 4 ， ∵0＜t＜1，∴4t2-17t+4≥0， ∴0＜t 1 4 ，h（t）≥h（ 1 4 ）= 15 8 -2ln2， 故所求的最小值为 15 8 -2ln2．