证明不等式1-x<e^-x<1-x+(x^2/2)
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解决时间 2021-02-10 13:25
- 提问者网友：溺爱和你
- 2021-02-10 02:38
证明不等式1-x<e^-x<1-x+(x^2/2)
最佳答案
- 五星知识达人网友：刀戟声无边
- 2021-02-10 02:51
1. 关于1-x<=e^(-x)
构造f(x)=1-x-e^(-x) f'=-1+e^(-x) x<0增函数，x>0减函数 故f(x)>=f(0)=0 得证。
2. 关于e^(-x)<=1-x+x^2/2
构造g(x)=e^(-x)-1+x-x^2/2 g'=-e^(-x)+1-x g''=-e^(-x)-1<0 g'为减函数
g'(0)=0 则g'在x<0时有g'(x)>0；x>0时有g'(x)<0；即g(x)先增后减；即g(x)<=g(0)=0.得证。
3. 综合1和2即可。
构造f(x)=1-x-e^(-x) f'=-1+e^(-x) x<0增函数，x>0减函数 故f(x)>=f(0)=0 得证。
2. 关于e^(-x)<=1-x+x^2/2
构造g(x)=e^(-x)-1+x-x^2/2 g'=-e^(-x)+1-x g''=-e^(-x)-1<0 g'为减函数
g'(0)=0 则g'在x<0时有g'(x)>0；x>0时有g'(x)<0；即g(x)先增后减；即g(x)<=g(0)=0.得证。
3. 综合1和2即可。
全部回答
- 1楼网友：洎扰庸人
- 2021-02-10 03:53
1. 关于1-x<=e^(-x)
构造f(x)=1-x-e^(-x) f'=-1+e^(-x) x<0增函数，x>0减函数 故f(x)>=f(0)=0 得证。
2. 关于e^(-x)<=1-x+x^2/2
构造g(x)=e^(-x)-1+x-x^2/2 g'=-e^(-x)+1-x g''=-e^(-x)-1<0 g'为减函数
g'(0)=0 则g'在x<0时有g'(x)>0；x>0时有g'(x)<0；即g(x)先增后减；即g(x)<=g(0)=0.得证。
3. 综合1和2即可。
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