如图,已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C.

如图,已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C.
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M,点N为X轴上一点,当以M、N、B为顶点的三角形与相似时,请你求出BN的长度（谁知道这个是△MNB与什么相似,这个题好像出错了, 题不完整）谢谢咯

这道题应该是△MNB∽△CAB时,求MN的长度.
将A、B两点带入抛物线方程,有：a-b+3=0,9a+3b+3=0
解之,得：a=-1,b=2,因此抛物线方程为：y=-x²+2x+3,对称轴方程为x=-b/2a=1
当x=0时,y=3,所以C（0,3）.
直线CB的方程由B、C两点坐标可求出为：y=-x+3,和对称轴方程x=1联立解得y=2即为M点坐标,也就是M（1,2).
△MNB∽△CAB,MN∥CA,而直线CA的斜率为k=3,所以直线MN的斜率也为3,所以直线MN的方程为y=3x-1,所以N点的坐标为（1/3,0）.
因此｜MN｜=√（1-1/3)²+（2-0）²=2√10/3.
另外,△MNB∽△CAB时,也可能不是MN∥CA,而是∠NMB=∠CAB,∠MNB=∠ACB,这时MN的直线方程怎么求,我也没想起来,sorry!
完善：
上述问题也可以这么求解,前面计算各点坐标的步骤不变,剩余步骤为：
由△MNB∽△CAB,可知：①｜BM｜/｜BC｜=｜MN｜/｜AC｜或者②｜BM｜/｜AB｜=｜MN｜/｜AC｜
①计算出｜BM｜=2√2,｜BC｜=3√2,｜AC｜=√10
∴｜MN｜=2√2×√10/3√2=2√10/3
②｜AB｜=4以及由①计算出的值,｜MN｜=｜BM｜×｜AC｜/｜AB｜=2√2×√10/4=√5
也就是说,答案有两个：分别为2√10/3或者√5.
再完善：前面看错了,计算成了MN的长度.不过有了上面的步骤,计算BN的方法一样的.
由△MNB∽△CAB,可知：①｜BN｜/｜AB｜=｜BM｜/｜BC｜或者②｜BN｜/｜BC｜=｜BM｜/｜AB｜
①计算出｜BM｜=2√2,｜BC｜=3√2,｜AB｜=4
∴｜BN｜=2√2×4/3√2=8/3
②由①计算出的值,｜BN｜=｜BM｜×｜BC｜/｜AB｜=2√2×3√2/4=3
所以答案为8/3或者3.