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椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线x+y=1交于两点p,q,op垂直oq,o是原点求1/a2+1/b2

答案:2  悬赏:80  手机版
解决时间 2021-01-24 05:40
椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线x+y=1交于两点p,q,op垂直oq,o是原点求1/a2+1/b2
最佳答案
P(x1,y1),Q(x2,y2),有:x1+y1-1=0,x2+y2-1=0 ...(1)
x+y-1=0代入x^2/a^2+y^2/b^2=1,得:
==> (a^2+b^2)x^2-2a^2*x+a^2(1-b^2)=0
x1+x1 =2a^2/(a^2+b^2), x1*x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2) ...(2)
OP垂直OQ:(y1/x1)(y2/x2)=-1 ...(3)
(1)(2)(3) ==> 1/a^2 +1/b^2 = 2 = 定值 ...(4)
e=c/a=[√(a^2-b^2)]/a =√[1-(b/a)^2]
(√2)/2≥e=√[1-(b/a)^2]≥(√3)/3 ...(5)
(4)(5) ==> (√6)/2≥a≥(√5)/2
全部回答
前面的第二问,解错了,不能用第一问得出的1/a^2+1/b^2=2结论,因为第一种情况实际上那个椭圆已经是半径为1的圆,不是椭圆,圆是没有偏心率的,我认为第二问缺条件,无解。

画一下图就很容易知道,在直线x+y=1上,满足op垂直于oq的p、q两点,就是直线与坐标轴的交点,即p(0,1)和q(1,0),椭圆经过这两点,实际上就是半径为1的圆,x^2+y^2=1,a=b=1因此 
(1)的答案:1/a^2+1/b^2=2 
(2)椭圆离心率e=c/a=1-b^2/a^2,离心率给出的是c与a的比值范围,由此不能决定a的取值范围,因此此题无解。
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