数列已知A(n+1)或Sn求A

Exp 已知Sn=1/8(An+2)的平方  求An

       已知Sn+S(n-1)=t(An的平方)+2  A1=1。求An

       A1=1 A(n+1)-An=1/(3的n+1平方) 求An

(1)8Sn=(An+2)²  

因为S1=A1  ==>8A1=(A1+2)²  ==>A=2

当n>1时

8Sn=(An+2)²

8S[n-1]=(A[n-1]+2)²

两式想减可得  8(Sn-S[n-1])=(An+2)²-(A(n-1)+2)²

8An=An²+4an+4-A[n-1]²-4A[n-1]-4

∴An²-A[n-1]²-4An-4A[n-1]=0

∴(An+A[n-1])(An-A[n-1]-4)=0

∵An>0, 即An+A(n+1)>0

∴An-A(n-1)=4

∴{an}是首项为2,公差为4的等差数列

所以An=2+4(n-1)=4n-2

(2)因为Sn+S[n-1]=tAn²+2  ①

则S[n-1]+S[n-2]=tA[n-1]²+2  ②

由①-②可得An+A[n-1]=tAn²-tA[n-1]²

===>tAn²-A[n-1]²-An-A[n-1]=0

==>(An+A[n-1])(tAn-tA[n-1]-1)=0

因为An>0  ==>tAn-tA[n-1]-1 ==>An-A[n-1]=1/t

∴{an}是首项为1,公差为1/t的等差数列

所以An=1+1/t×(n-1)=(n+t-1)/t

(3)因为A[n+1]-An=1/3^(n+1)

则An-A[n-1]=1/3^n

A[n-1]-A[n-2]=1/3^(n-1)

....

A2-A1=1/3^2

所以An-A1=1/3^2+1/3^3+...+1/3^n

==>An=1+1/3^2+1/3^3+...+1/3^n=7/6-1/(2×3^n)

8Sn=(an+2)²