已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n+c．（Ⅰ）求c的值并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=Sn+2n+1，求数
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解决时间 2021-02-04 14:42
- 提问者网友：我的未来我做主
- 2021-02-03 16:40
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n+c．（Ⅰ）求c的值并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=Sn+2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
最佳答案
- 五星知识达人网友：掌灯师
- 2021-02-03 18:09
（Ⅰ）由Sn=2n+c得，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，…（2分）
当n=1时，S1=21+c=2+c=a1，
∵数列{an}为等比数列，
∴
a2
a1 ＝
2
2+c =
a3
a2 =2 …（4分）
解得c=-1，则a1=1 …（5分）
∴数列{an}的通项公式：an＝2n?1 …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=2n-1，∴bn=Sn+2n+1=2n+2n …（8分）
则Tn=（21+22+23+…+2n）+2（1+2+3+…+n） …（9分）
=
2(1?2n)
1?2 +2×
n(1+n)
2 =2n+1-2+n（n+1）
=2n+1+n2+n-2 …（12分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，…（2分）
当n=1时，S1=21+c=2+c=a1，
∵数列{an}为等比数列，
∴
a2
a1 ＝
2
2+c =
a3
a2 =2 …（4分）
解得c=-1，则a1=1 …（5分）
∴数列{an}的通项公式：an＝2n?1 …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=2n-1，∴bn=Sn+2n+1=2n+2n …（8分）
则Tn=（21+22+23+…+2n）+2（1+2+3+…+n） …（9分）
=
2(1?2n)
1?2 +2×
n(1+n)
2 =2n+1-2+n（n+1）
=2n+1+n2+n-2 …（12分）
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- 1楼网友：一袍清酒付
- 2021-02-03 19:37
支持一下感觉挺不错的
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