三角函数求值域问题 f(x)=sinx/√(5+4cosx)(0＜x＜2π)的值域为

三角函数求值域问题 f(x)=sinx/√(5+4cosx)(0＜x＜2π)的值域为

f(x)是周期为2π的奇函数，只要求出[-π,π]上的值域就是[0,2π]上的值域；
当，0≤x≤π时，
f(x)≥0
f(x)=√[sin^2(x)/(5+4cosx)]=√[(1+cosx)(1-cosx)/(5+4cosx)]
令t=5+4cosx
1≤t≤9 ，且cosx=(t-5)/4
(1+cosx)=(t-1)/4
(1-cosx)= - (t-9)/4
y=(1/4)√-(t-9)(t-1)/t=(1/4)√(-t^2+10t-9)/t
y=(1/4)√[-t-(9/t)+10]
因为t+(9/t)≥6,所以，
-t-(9/t)≤-6(t=3时取等号）
y(max)=(1/4)√4=(1/2)
0≤y≤(1/2)
当-π≤x<0时，
0<(-x)≤π
由上式得：
00<-f(x)≤(1/2)
-1/2≤f(x)<0
把两个值域并起来为：
-1/2≤f(x)≤1/2
所以原函数的值域为：[-1/2,1/2]

［－½，½］追答函数f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≦x≦2π)的值域
令f′(x)=[cosx√(5+4cosx)-sin(-4sinx)/2√(5+4cosx)]/(5+4cosx)
=[cosx(5+4cosx)+2sin²x]/[(5+4cosx)√(5+4cosx)]=0
得cosx(5+4cosx)+2sin²x=5cosx+4cos²x+2sin²x=2cos²x+5cosx+2=(2cosx+1)(cosx+2)=0
由于cosx+2>0,故必有2cosx+1=0,即得cosx=-1/2,即得驻点x₁=π-π/3=2π/3；
x₂=π+π/3=4π/3；x₁是极大点,x₂是极小点.
f(x₁)=sin(2π/3)/√[5+4cos(2π/3)]=sin(π/3)/√[5-4cos(π/3)]=(√3/2)/√3=1/2
f(x₂)=sin(4π/3)/√[5+4cos(4π/3)]=-(√3/2)/√3=-1/2
故值域为[-1/2,1/2].

来晚了。上图作补充追答