请问高中数学数列当中的“错位相减法”是怎么做的？本人忘了，请举例说明，谢谢！

请问高中数学数列当中的“错位相减法”是怎么做的？本人忘了，请举例说明，谢谢！

错位相减法，形式很多样，但是本质是一样的。

他只要三步走：1，乘公比

2，相减（错位，相减，化简）

3，除系数（把S n前的系数除掉）

关键在第二步，非常容易出错！

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 　　形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。 　　例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0） 　　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2； 　　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； 　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n； 　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n； 　　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 　　两边同时乘以1/2 　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 　　两式相减 　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) 　　Sn=1-1/2^n 　　错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）： 　　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1） 　　在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下： 　　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2） 　　用（1）—（2），得到等式（3）如下： 　　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3） 　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。 　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。 　　例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0） 　　解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方 　　当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方 　　所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方 　　所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。 　　化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方 　　Cn=(2n+1)*2^n 　　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 　　2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 　　两式相减得 　　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) 　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) 　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) 　　=(1-2n)*2^(n+1)-2 　　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 　　错位相减法 　　这个在求等比数列求和公式时就用了 　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 　　两边同时乘以1/2 　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 　　两式相减 　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) 　　Sn=1-1/2^n

最简单的应用：

1+2 + 4 +…+2^n =S ①

两边同时乘以2（错位相减法基本都会乘上一个特殊因数）

2 + 4 +…+2^n+2^(n+1)=2S ②

②式减 ①式，相等项相抵消，得

S=2^(n+1)-1