假设 地球是均匀的圆球,而且在中间凿了个隧道,通过地心,直到另一端.

假设 地球是均匀的圆球,而且在中间凿了个隧道,通过地心,直到另一端.
现将一小铁球以初速度0,放入洞中.
有人说,小球会做简谐运动,那么振动周期是多少?如果不是简谐运动 那么 会是什么运动?什么理由?

首先 计算 小球下落到 h 深处时的加速度.
如同一个带电小球处在一个空心球壳中所受库仑合力为0的道理一样,深处h处的质量小球所受的 外径为R内径为(R-h)的地球球壳的万有引力之合力也为0.
（R为地球半径）因此小球所受万有引力为半径为 R-h 的内层地球的引力.该引力为
F=GmM/(R-h)^2
M为内层地球质量
小球在深处h处的加速度为
a=F/m = GM/(R-h)^2
h=0时 a=g=GM'/R^2
M'为整个地球的质量.因为假设地球是均匀的,密度相等.所以它与M的关系为：
M=M' * (R-h)^3/R^3
任意h时：a= GM/(R-h)^2
= G* [M' * (R-h)^3/R^3] /(R-h)^2
= G*M'/R^2 * (R-h)/R
= g*(R-h)/R
设 r=R-h 代表内层地球的半径
a=g*r/R
小球在r处受到的指向地心的力
F=mg* r/R
这个式子与弹簧的恢复力 F=kX (k 为弹簧倔强系数）形式相似
mg/R 相当于倔强系数k.
所以,小球会做简谐振动,周期为
T=2∏√[m/(mg/R)
=2∏√R/g)
R = 6.37*10^6 米
g = 9.86 米/秒^2
代入计算得到
T = 5.05 * 10^3 秒

我好好复习下