怎么判断原函数为初等函数

例如，sin 1/x 是初等函数，为什么它的原函数不是初等函数，（从而不可积）？

根据定义判断。
初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometic function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。

[实际上原函数不是初等函数的初等函数是大量的，比原函数是初等函数的初等函数多得多，所以不定积分“积不出来”的情形远比可以积出来的多得多，应该说能够求出不定积分的才是“偶然”的，是人们精心构造好的题目让你求的，并不是你所认为的“积不出来”的函数是很难找的。 对于绝大多数这种函数的原函数我们就不表示它了，只有非常少数几个这种函数的原函数因为有用，就专门定义一种记号来表示它的原函数，这个等以后你有机会遇到的时候再说吧。