R中的完备性两个命题等价证明（1）R中的有上（下）界的非空集合在R中有上（下）确界.（2）R中的Ca

R中的完备性两个命题等价证明（1）R中的有上（下）界的非空集合在R中有上（下）确界.（2）R中的Ca

(1)=>(2)若R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立设A={an}为R中的一个柯西列,则任意epsilon>0,存在N,当n,m>N时,都有[an-am]N的数列分别有上下确界（上下极限）S与s,且S-s（1）若R中的任意柯西序列都在R中收敛,要证明R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立下面分这个非空集合是否是有限集合来讨论：若是有限集合,则取最大数与最小数为上下确界即可若集合是有界的无限集合,则其任意无限子集都有界,且必存在收敛的柯西子列,而柯西列一定存在上下确界======以下答案可供参考======供参考答案1:(1) 确界原理 → Cauchy列收敛.设a[1], a[2], ...是R中的一个Cauchy列.易知Cauchy序列有界, 不妨设L 考虑集合E = {x ∈ R | 存在无穷多k, 使a[k] ≤ x}.由U ∈ E, E ≠ ∅, 又易见L是E的一个下界.E是有下界的非空集合, 故存在下确界b.断言lim{k → ∞} a[k] = b.若不然, 存在ε > 0, 使得有无穷多k满足|a[k]-b| ≥ ε.由b是E的下界, 至多有有限个k使得a[k] 然而, 由{a[k]}是Cauchy列, 存在N, 当m, n > N时有|a[m]-a[n]| 而由k有无穷多, 存在k > N使a[k] ≥ b+ε.于是对任意n > N, 有a[n] > a[k]-ε/2 ≥ b+ε/2.因此至多有有限个k使a[k] ≤ b+ε/2, 即b+ε/2不属于E.易知对任意x 所以断言成立, Cauchy列收敛.(2) Cauchy列收敛 → 确界原理.设E是R中的非空集合, 并存在上界.首先证明引理: 对E的任意一个上界b, 若t > 0使得b-t不是E的上界,则存在E的上界c, 使c-t/2不是E的上界.原因很简单: 若b-t/2是E的上界, 则c = b-t/2满足条件.若b-t/2不是E的上界, 则c = b满足条件.设x是E的一个上界, 而y ∈ E, 取t = x-y+1 > 0, 则x-t = y-1 构造数列{a[k]}: 取a[1] = x, 则a[1]是E的上界且a[1]-t不是E的上界.由引理, 存在E的上界a[2], 使a[2]-t/2不是E的上界.进而存在E的上界a[3], 使a[3]-t/4不是E的上界, 依此类推.a[k]是E的上界, 且a[k]-t/2^(k-1)不是E的上界.由a[k+1]是E的上界, 有a[k+1] > a[k]-t/2^(k-1).又a[k+1]-t/2^k不是E的上界, 有a[k] > a[k+1]-t/2^k.综合得|a[k+1]-a[k]| 由此可证{a[k]}是一个Cauchy列:|a[n+m]-a[n]| ≤ |a[n+m]-a[n+m-1]|+...+|a[n+1]-a[n]| = |a[n+1]-a[n]|·(1+1/2+...+1/2^(m-1))对任意给定的ε > 0, 可知存在N, 当n > N时|a[n+m]-a[n]| 设lim{k → ∞} a[k] = d, 下面证明d是E的上确界.首先d是E的上界, 因为对任意x ∈ E, 有x ≤ a[k]对任意k成立.由极限的保序性, 即得x ≤ lim{k → ∞} a[k] = d.另一方面, d是E的上确界.对任意d'

感谢回答，我学习了