设函数f（x）=ax2+lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=（2a+1）x，若当x∈（1，+∞）时

设函数f（x）=ax2+lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=（2a+1）x，若当x∈（1，+∞）时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

（Ⅰ）∵f（x）=ax2+lnx，其中x＞0，
∴f′(x)＝
2ax2+1
x ，
当a≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，令f′（x）=0，得x＝±



?
1
2a ，
∴f（x）在(0，



? 
1
2a )上是增函数，在(



? 
1
2a ，+∞)上是减函数．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），
则h（x）=ax2-（2a+1）x+lnx，
根据题意，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0恒成立．
∴h′(x)＝2ax?(2a+1)+
1
x ＝
(x?1)(2ax?1)
x
（1）当0＜a＜
1
2 时，x∈(
1
2a ，+∞)时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在(
1
2a ，+∞)上是增函数，且h(x)∈(h(
1
2a )，+∞)，不符题意；
（2）当a≥
1
2 时，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，且h（x）∈（h（1），+∞），不符题意；
（3）当a≤0时，x∈（1，+∞）时，恒有h′（x）＜0，故h（x）在（1，+∞）上是减函数，
于是“h（x）＜0对任意x∈（1，+∞）都成立”的充要条件是h（1）≤0，即a-（2a+1）≤0，
解得a≥-1，故-1≤a≤0．
综上所述，a的取值范围是[-1，0]．

设h(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-ax^2(x>0)

因为不单调

所以求导  h`(x)=1/x+1-2ax（x>0）

此时易知当a<=0时，h`(x)>0恒成立（根据基本不等式），为单调函数，

所以a>0。

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