已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．（

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l过 P(- 1 2 ， 1 2 ) 且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．

设椭圆方程为
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1(a＞b＞0) ．                          
（Ⅰ）由已知可得






b=c
2b=2
a 2 = b 2 + c 2 ?






a 2 =2
b 2 =1
c 2 =1 ．                     
∴所求椭圆方程为
x 2
2 + y 2 =1 ．                           
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=k(x+
1
2 )+
1
2 ，A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），
则

x 21
2 +
y 21 =1 ，

x 22
2 +
y 22 =1 ，两式相减得：
y 1 - y 2
x 1 - x 2 =-
1
2 ?
x 1 + x 2
y 1 + y 2 ．
∵P是AB的中点，∴
x 1 + x 2
2 =-
1
2 ，
y 1 + y 2
2 =
1
2 ，
代入上式可得直线AB的斜率为 k=
y 1 - y 2
x 1 - x 2 =
1
2 ，
∴直线l的方程为2x-4y+3=0．
当直线l的斜率不存在时，将 x=-
1
2 代入椭圆方程并解得 A(-
1
2 ，



14
4 ) ， B(-
1
2 ，-



14
4 ) ，
这时AB的中点为 (-
1
2 ，0) ，∴ x=-
1
2 不符合题设要求．
综上，直线l的方程为2x-4y+3=0．