已知向量a与b的夹角为60°，且|a|=3.|b|=4求|a+b|与|a－b| （2）求a+b与a－b的夹角Ø的余弦值
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解决时间 2021-04-14 03:14
- 提问者网友：浪荡绅士
- 2021-04-13 04:39
最佳答案
- 五星知识达人网友：孤独入客枕
- 2021-04-13 04:48
17、根据已知可得 a^2=9 ，b^2=16 ，a*b=|a|*|b|*cos60=6 。
（1）由 |a+b|^2=a^2+2a*b+b^2=9+12+16=37 得 |a+b|=√37 ，
由 |a-b|^2=a^2-2a*b+b^2=9-12+16=13 得 |a-b|=√13 。
（2）由于 (a+b)*(a-b)=a^2-b^2=9-16= -7 ，
所以 cosθ=(a+b)*(a-b)/(|a+b|*|a-b|)= -7/(√37*√13)= -7/481*√481 。
18、（1）|AC|=|BC| ，因此 |AC|^2=|BC|^2 ，
所以 (cosa-3)^2+(sina-0)^2=(cosa-0)^2+(sina-3)^2 ，
化简得 -6cosa= -6sina ，那么 tana=1 ，
又 a∈(π/2，3π/2) ，所以 a=5π/4 。
（2）AC*BC=(OC-OA)*(OC-OB)=OC^2-(OA+OB)*OC+OA*OB=1-3(cosa+sina)= -1 ，
所以 cosa+sina=2/3 ，平方可得 1+2sinacosa=4/9 ，
因此 2sinacosa= -5/9 ，
那么 [2(sina)^2+sin2a]/(1+tana)=[2(sina)^2+2sinacosa]cosa/(sina+cosa)
=2sinacosa(sina+cosa)/(sina+cosa)
=2sinacosa= -5/9 。
（1）由 |a+b|^2=a^2+2a*b+b^2=9+12+16=37 得 |a+b|=√37 ，
由 |a-b|^2=a^2-2a*b+b^2=9-12+16=13 得 |a-b|=√13 。
（2）由于 (a+b)*(a-b)=a^2-b^2=9-16= -7 ，
所以 cosθ=(a+b)*(a-b)/(|a+b|*|a-b|)= -7/(√37*√13)= -7/481*√481 。
18、（1）|AC|=|BC| ，因此 |AC|^2=|BC|^2 ，
所以 (cosa-3)^2+(sina-0)^2=(cosa-0)^2+(sina-3)^2 ，
化简得 -6cosa= -6sina ，那么 tana=1 ，
又 a∈(π/2，3π/2) ，所以 a=5π/4 。
（2）AC*BC=(OC-OA)*(OC-OB)=OC^2-(OA+OB)*OC+OA*OB=1-3(cosa+sina)= -1 ，
所以 cosa+sina=2/3 ，平方可得 1+2sinacosa=4/9 ，
因此 2sinacosa= -5/9 ，
那么 [2(sina)^2+sin2a]/(1+tana)=[2(sina)^2+2sinacosa]cosa/(sina+cosa)
=2sinacosa(sina+cosa)/(sina+cosa)
=2sinacosa= -5/9 。
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- 1楼网友：旧脸谱
- 2021-04-13 06:47
解：因为|a| = |b| = 4，所以三角形aob是等腰三角形，而且∠aob=60°，所以三角形aob是等边三角形，oa = ob = ab = 4，而且∠aob = ∠abo = ∠bao = 60°，
（1）因为|a + b|2 = a2 + 2a·b + b2 = |a|2 + 2|a|*|b|*cos60° + |b|2 = 42 + 2*4*4*(1/2) + 42 = 48，所以|a + b| = √48 = 4√3 ；
因为|a – b|2 = a2 – 2a·b + b2 = |a|2 – 2|a|*|b|*cos60° + |b|2 = 42 – 2*4*4*(1/2) + 42 = 16，所以|a – b| = √16 = 4 ；
（2）设向量a + b与向量a的夹角为θ，所以cosθ = [(a + b)·a] / [|a + b|*|a|] = (a2 + b·a)/ [4√3*4] = (42 + 4*4*cos60°)/(16√3) = 24/(16√3) = √3/2 ，所以θ = arccos(√3/2) =π/6 ；
设向量a – b与向量a的夹角为β，所以cosβ = [(a – b)·a] / [|a – b|*|a|] = (a2 – b·a)/ [4*4] = (42 – 4*4*cos60°)/(16) = 8/16 = 1/2 ，所以β = arccos(1/2) =π/3 ；
综上所述，向量a + b与向量a的夹角为π/6，向量a – b与向量a的夹角为π/3 。
- 2楼网友：风格不统一
- 2021-04-13 06:19
17
(1)
∵|a|=3,|b|=4,=60º
∴a●b=|a||b|cos60º=6
|a+b|²=|a|²+|b|²+2a●b
=9+16+2×6=37
∴|a+b|=√37
|a-b|²=|a|²+|b|²-2a●b
=9+16-2×6=13
∴|a-b|=√13
(2)
cosθ=(a+b)●(a-b)/(|a+b||a-b|)
=(|a|²-|b|²)/(√37*√13)
=(9-16)/√481
=-(7√481)/481
18
(1)
AB=(cosα-3,sinα)
BC=(cosα,sinα-3)
∵|AC|=|BC|
∴(cosα-3)²+sin²α=cos²α+(sinα-3)²
cos²α+sin²α-6cosα+9 =cos²α+sin²α-6sinα+9
∴sinα=cosα
∴tanα=sinα/cosα=1
∵α∈(π,3π/2)
∴α=5π/4
(2)
AC●BC=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)
=cos²α+sin²α-3(sinα+cosα)
=1-3(sinα+cosα))=-1
∴sinα+cosα=2/3
两边平方
1+2sinαcosα=4/9
2sinαcosα=-5/9
∴(2sin²α+sin2α)/(1+tanα)
=(2sin²α+2sinαcosα)/(1+sinα/cosα)
=2sinαcosα(sinα+cosα)/(cosα+sinα)
=2sinαcosα=-5/9
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