设a,b是正整数,且24a²=b²-1,求证:a,b中恰有一个为5的倍数
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解决时间 2021-03-15 20:08
- 提问者网友:愿为果
- 2021-03-15 11:46
设a,b是正整数,且24a²=b²-1,求证:a,b中恰有一个为5的倍数
最佳答案
- 五星知识达人网友:大漠
- 2021-03-15 12:12
∵24a^2=b^2-1,∴25a^2=a^2+b^2-1。
∵a、b都是正整数,∴(a^2+b^2-1)是5的倍数。······①
一、假设a、b都是5的倍数,则:a^2、b^2都是5的倍数,∴a^2+b^2-1不可能是5的倍数。
∴a、b不能同为5的倍数。
二、假设a、b都不是5的倍数,则可令a=5m±1或a=5m±2;b=5n±1或b=5n±2。
[为叙述简便,以下设t为待定整数。]
1、当a=5m±1、b=5n±1时,
a^2+b^2-1=(25m^2±10m+1)+(25n^2±10n+1)-1=5t+1。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
2、当a=5m±1、b=5n±2时,
a^2+b^2-1=(25m^2±10m+1)+(25n^2±20n+4)-1=5t-1。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
3、当a=5m±2、b=5n±1时,
a^2+b^2-1=(25m^2±20m+4)+(25n^2±10n+1)-1=5t-1。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
4、当a=5m±2、b=5n±2时,
a^2+b^2-1=(25m^2±20m+4)+(25n^2±20n+4)-1=5t+2。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
综上所述,得:a、b同为5的倍数,或都不是5的倍数,都无法使①成立。
∴a、b中恰有一个为5的倍数。
∵a、b都是正整数,∴(a^2+b^2-1)是5的倍数。······①
一、假设a、b都是5的倍数,则:a^2、b^2都是5的倍数,∴a^2+b^2-1不可能是5的倍数。
∴a、b不能同为5的倍数。
二、假设a、b都不是5的倍数,则可令a=5m±1或a=5m±2;b=5n±1或b=5n±2。
[为叙述简便,以下设t为待定整数。]
1、当a=5m±1、b=5n±1时,
a^2+b^2-1=(25m^2±10m+1)+(25n^2±10n+1)-1=5t+1。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
2、当a=5m±1、b=5n±2时,
a^2+b^2-1=(25m^2±10m+1)+(25n^2±20n+4)-1=5t-1。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
3、当a=5m±2、b=5n±1时,
a^2+b^2-1=(25m^2±20m+4)+(25n^2±10n+1)-1=5t-1。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
4、当a=5m±2、b=5n±2时,
a^2+b^2-1=(25m^2±20m+4)+(25n^2±20n+4)-1=5t+2。
∴此时(a^2+b^2-1)不是5的倍数。
综上所述,得:a、b同为5的倍数,或都不是5的倍数,都无法使①成立。
∴a、b中恰有一个为5的倍数。
全部回答
- 1楼网友:往事埋风中
- 2021-03-15 12:37
b=5n
b=5n±1
b=5n±2
带入即可
b=5n±1
b=5n±2
带入即可
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