数学天才来一下下

1、证明：任意三个连续自然数的立方和能被9整除。2、已知方程2X^2-9X+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方。3、M为何值时，方程（M＋1）X^2＋（M－5）X＋（M＋6）＝0的一个根比另一个根的2倍小1？4、已知X1,X2是方程X^2－X－9＝0的两个实数根，求X1^3＋7X2^2＋3X2－66的值

设它们是x-1,x,x+1
立方和为
(x-1)^3+x^3+(x+1)^3
=(x^3-3x^2+3x-1)+x^3+(x^3+3x^2+3x+1)
=3x^3+6x
=3x(x^2+2)
（x^2表示x的平方，x^3表示x的立方）
这首先一定是3的倍数，只要看x，x有三种情况：
①x就是3的倍数，那么3x就是9的倍数，那么3x(x^2+2)（立方和）就是9的倍数
②x是3的倍数多1，设x=3k+1（k为整数）
3x(x^2+2)
=3(3k+1)[(3k+1)^2+2]
=3(3k+1)(9k^2+6k+1+2)
=3(3k+1)3(3k^2+2k+1)
=9(3k+1)(3k^2+2k+1)
是9的倍数
③x是3的倍数多2，设x=3k+2（k为整数）
3x(x^2+2)
=3(3k+2)[(3k+2)^2+2]
=3(3k+2)(9k^2+12k+4+2)
=3(3k+1)3(3k^2+4k+2)
=9(3k+1)(3k^2+4k+2)
是9的倍数

2、原方程两根和的倒数为2/9，原方程两根差的平方为27/4，所以，设新方程为X²+BX+C=0

则，2/9+27/4=-B，2/9*27/4=C，解得，B=-251/36，C=3/2，代入新方程，并化简，得

36X²-251X+54=0

3、首先，M≠-1，判别式＞0，即（M－5）²-4（M＋1）（M＋6）=-3M²-38M+1＞0，

解得，（-19-2根号91）/3＜M＜（-19+2根号91）/3＜1，且M≠-1

所以，M-5＜0，

则有，【5-M+根号（-3M²-38M+1）】/【2（M＋1）】

    =2*【5-M-根号（-3M²-38M+1）】/【2（M＋1）】-1

化简，即为根号（-3M²-38M+1）=1-M

解得，M=0或-18（舍去）

或，【5-M-根号（-3M²-38M+1）】/【2（M＋1）】

    =2*【5-M+根号（-3M²-38M+1）】/【2（M＋1）】-1

化简，即为根号（-3M²-38M+1）=M-1＜0，无解

综上，M=0

4、X^2－X－9＝0，可得，X^2＝9+X，X³=9X+X²=9+10X

所以，X1^3＋7X2^2＋3X2－66=9+10X1+7（9+X2）3X2－66=10（X1+X2）+6=16