行列式中,abc为互异实数,证明|1 1 1||a b c||a^3 b^3 c^3|=0的充要条件
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解决时间 2021-02-14 02:13
- 提问者网友：心如荒岛囚我终老
- 2021-02-13 08:33
行列式中,abc为互异实数,证明|1 1 1||a b c||a^3 b^3 c^3|=0的充要条件
最佳答案
- 五星知识达人网友：人间朝暮
- 2021-02-13 09:09
证明: 等式左边行列式记为D.考虑Vandermonde行列式D11 1 1 1a b c xa^2 b^2 c^2 x^2a^3 b^3 c^3 x^3= (b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c).直接计算其x^2的系数为: (b-a)(c-a)(c-b)(-a-b-c).另一方面, 观察D1, 其x^2的系数恰为 A34=(-1)^(3+4)M34 = -D.[考虑D1按第4列展开]所以 D = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)由a,b,c为互异实数, 所以D=0的充要条件是a+b+c=0.[注: 行列式D可用性质化三角形行列式,这里提供另一方法计算它.若是高阶, 此方法更显有用]
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- 1楼网友：痴妹与他
- 2021-02-13 09:31
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