关于微分定义中的高阶无穷小o(Δx)的疑问.

关于微分定义中的高阶无穷小o(Δx)的疑问.
微分的定义：设函数y = f(x)在x的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内.如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数）,而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx.
我想问的是Δx并不一定是无穷小,表达式中怎么能出现Δx的高阶无穷小o(Δx)呢?

你说的对,利用微分进行近似计算时,Δx并不是无穷小量,而是一个确定的量,无穷小是一个以零为极限的变量,确定的量不可能是无穷小量,但是为什么在上面微分的定义中却使用了高阶的无穷小o(Δx)的概念,表达式o(Δx)表示的是比Δx趋于零的速度快的无穷小量,这就意味着Δx也是无穷小量,要搞懂为什么,首先需要搞懂微分的定义.
函数的增量Δy表示为两个量之和：Δy=AΔx+o(Δx),Δy,AΔx,o(Δx)均是确定的量,这里的等式是通常意义下的等式,该表达式是个“静态的”,将一个量表示为两个量之和的方法很多,这里要求将增量Δy表示为两个量之和,要求其中一个量应是自变量增量的一个倍数,另一个变量是当自变量增量Δx趋于零时,它比Δx趋于零的速度快,为了确定或刻划这两个量的特征用了“动态的”形式,一般地,一个量A表示为另外两个量B,C之和A=B+C,为确定或刻划量B,C的特证,可加一些“动态的”条件,即如果B按某种方式变化了,需要C按另外一种方式变化,当然前提是两个量B,C之间是“关联的”,不是独立的.
因此将那个是自变量增量倍数的量记为AΔx,将那个当自变量增量Δx趋于零时,它比Δx趋于零的速度快的量记为o(Δx),如果Δx是确定的量,则o(Δx)= Δy-AΔx也是确定的量,只有当Δx→0时,才体现出符号o(Δx)的含义,它是比Δx趋于零的速度更快的无穷小量.
这就回答了你的提问,为了更好地理解微分的概念,需要了解微分和积分之间的关系,下面就谈谈微分和积分之间的关系.
如果能将函数的增量Δy表示为上述特征的两个量之和,其中AΔx就称为对应于自变量增量Δx的微分,记为dy.
如果变量y是变量x的函数y=f(x),由Δy=AΔx+o(Δx)得Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx,当Δx→0时,由高阶无穷小的定义可知o(Δx)/Δx→0,Δy/Δx→A,从而可知A是f(x)的1阶导数,A=f′(x).
微分不单纯是为了近似计算,它有着更深刻的理论意义.由高阶无穷小量的定义可知,当Δx→0时,o=o(Δx)/Δx→0,故高阶无穷小量o(Δx)可表示为o(Δx)=oΔx,其中当Δx→0时,o→0,将自变量变化范围[a,b]分为一些小区间
a=x0