设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，a1=1，an+1+2SnSn+1=0（Ⅰ）求证数列{1Sn}是等差数列，并求{an}的通项

设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，a1=1，an+1+2SnSn+1=0（Ⅰ）求证数列{1Sn}是等差数列，并求{an}的通项；（Ⅱ）记bn=Sn2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

（Ⅰ）∵an+1+2SnSn+1=0，
∴Sn+1-Sn+2SnSn+1=0，
两边同除以SnSn+1，并整理得，
1
Sn+1 ?
1
Sn ＝2，
∴数列{
1
Sn }是等差数列，其公差为2，首项为
1
S1 =1，
∴
1
Sn ＝1+2(n?1)＝2n?1，
∴Sn＝
1
2n?1 ，
∴an=Sn-Sn-1=
1
2n?1 ?
1
2n?3 =-
2
(2n?1)(2n?3) ，
又a1=1，
∴an＝







1，n＝1
?
2
(2n?1)(2n?3) ，(n≥2，n∈N) ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝
Sn
2n+1 ＝
1
(2n?1)(2n+1) =
1
2 (
1
2n?1 ?
1
2n+1 )，
∴Tn＝
1
2 [(1?
1
3 )+(
1
3 ?
1
5 )+(
1
5 ?
1
7 )+…+(
1
2n?1 -

解答：（ⅰ）证明：当n≥2时，其前n项和sn满足：2sn2=an（2sn-1）． ∴2 s 2 n ＝(sn?sn?1)(2sn?1)， 化为 1 sn ? 1 sn?1 =2， ∴数列{ 1 sn }是等差数列， ∴ 1 sn ＝1+2(n?1)=2n-1， ∴sn= 1 2n?1 ． （ii）bn= sn 2n+1 = 1 (2n?1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n?1 ? 1 2n+1 )， ∴数列{bn}的前n项和为tn= 1 2 [(1? 1 3 )+( 1 3 ? 1 5 )+…+( 1 2n?1 ? 1 2n+1 )] = 1 2 (1? 1 2n+1 )= n 2n+1 ． ∴2tn（2n+1）≤m（n2+3）化为m≥ 2n n2+3 ， ∵ 2n n2+3 = 2 n+ 3 n ＜ 2 2+ 3 2 = 4 7 ． ∴m≥ 4 7 ． 使得2tn（2n+1）≤m（n2+3）对所有n∈n*都成立的实数m的取值范围是[ 4 7 ，+∞)．