求积分 ∫c (e^z)/(z^2+1)^2dz |z|=r>1 c为正方向的积分

求积分 ∫c (e^z)/(z^2+1)^2dz |z|=r>1 c为正方向的积分

由于r>1，圆内有两个奇点±i，且均为二级极点，下面可以用“复合闭路+高阶导数公式”或“留数定理”均可。
我用前一个方法
以±i为圆心，充分小的ε为半径作两个圆C1与C2，使两小圆不相交，且含于大圆内，不与大圆相交，
这样在C1与C2内就都是只有一个奇点了，由复合闭路定理，C上的积分等于C1与C2上积分之和。
∫c (e^z)/(z²+1)²dz
=∫c1 (e^z)/(z²+1)²dz+∫c2 (e^z)/(z²+1)²dz
=∫c1 [(e^z)/(z-i)²]/(z+i)²dz+∫c2 [(e^z)/(z+i)²]/(z-i)²dz
由高阶导数定理
=2πi[(e^z)/(z-i)²]'+2πi[(e^z)/(z+i)²]' 求完导后，前一式z=-i，后一式z=i代入
=2πi*[e^z(z-i)-2e^z]/(z-i)³+2πi*[e^z(z+i)-2e^z]/(z+i)³ 前一式z=-i，后一式z=i代入
=-2π*e^(-i)(1+i)-2π*e^i*(1+i)
=-2π(1+i)(e^(-i)+e^i)
=-4π(1+i)cos1
计算比较麻烦，不知有没有计算错误，你自己检查吧。