设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n，有2√Sn=an十1。(1)求

设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n，有2√Sn=an十1。(1)求

(1)令n=1，由S1=a1得：
2√a1=a1+1
解得：a1=1
令n=2，得：
2√(1+a2)=a2+1
解得：a2=3
(2)将
2√Sn=an+1(n≥2)
两边平方，得：
4Sn=an²+2an+1
4S(n-1)=a(n-1)²+2a(n-1)+1
两式相减得：
4an=an²-a(n-1)²+2an-2a(n-1)
整理得：
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
因为{an}由正数组成
所以an+a(n-1)≠0
所以
an-a(n-1)-2=0
又由a1=1，知{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1

追答

(1)S1=a1
2√S1=a1+1
4a1=a1²+2a1+1
∴a1=1
S2=a1+a2
4(1+a2)=(a2+1)²
0=a2²-2a2-3
∵an>0
∴a2=3
(2)4Sn=(an+1)²
Sn=(an+1)²/4
an=Sn-Sn-1=(an+1)²/4-(an-1+1)²/4=(an+an-1+2)(an-an-1)/4
4an=an²+2an-an-1²-2an-1
(an-an-1)(an+an-1)=2(an+an-1)
∴an-an-1=2
∴an是公差=2，首项为1的等差数列
an=1+2(n-1)