已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，外接圆半径是2，且满足条件

1/4（a^2-c^2）=(a-b)sinB (1)求∠C (2)求△ABC面积的最大值

已知ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，外接圆半径是2，且满足条件
(1/4)(a²-c²)=(a-b)sinB；(1)。求∠C；(2)。求△ABC面积的最大值。
解：(1)。由正弦定理，可知a=4sinA，b=4sinB，c=4sinC，
∴cosC=(a²+b²-c²)/2ab=16(sin²A+sin²B-sin²C)/(32sinAsinB)
=(sin²A+sin²B-sin²C)/(2sinAsinB)..........(1)
由(1/4)(a²-c²)=(a-b)sinB，得4(sin²A-sin²C)=4(sinA-sinB)sinB，
即有sin²A-sin²C=(sinA-sinB)sinB；
故得sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB..........(2)
将(2)代入(1)式，得：cosC=sinAsinB/(2sinAsinB)=1/2，故C=π/3.
(2)。S△ABC=(1/2)absinC=(1/2)absin(π/3)=(√3/4)ab≦(√3/4)(a²+b²)/2.
当且仅仅当a=b时等号成立，而a=b时，由于C=π/3，故此时△ABC是等边三角形；
a=b=4sin(π/3)=2√3；故maxS△ABC=(√3/4)(12+12)/2=3√3.

（1）∵a 2 +b 2 =ab+c 2 ，即a 2 +b 2 -c 2 =ab， ∴由余弦定理得：cosc= a 2 + b 2 - c 2 2ab = ab 2ab = 1 2 ， 又c为三角形的内角， ∴c=60°， 又△abc的外接圆半径r= 2 ， ∴由正弦定理 c sinc =2r得：c=2 2 sin60°= 6 ； （2）∵c= 6 ，cosc= 1 2 ， ∴由余弦定理c 2 =a 2 +b 2 -2abcosc得：6=a 2 +b 2 -ab≥2ab-ab， ∴ab≤6， ∴s= 1 2 absin60°≤ 3 3 2 ，当且仅当a=b= 6 时等号成立， 则△abc面积的最大值为 3 3 2 ．