四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直,底面ABCD是矩形,E是AB中点,且AD=2,AB=2根

四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直,底面ABCD是矩形,E是AB中点,且AD=2,AB=2根号2
（1）求直线PE与AD所称角的余弦值
（2）求二面角P-CE-D的大小
（3）求点D到平面PCE的距离

1）、设F是AD中点
∵ ΔPAD是正三角形
∴ PF⊥AD,又,平面PAD⊥底面ABCD,
则PF⊥平面ABCD
PF⊥EF,EF是PE在平面ABCD内的投影
AF与EF的夹角即异面直线PE与AD的夹角a
ABCD是矩形,则AD⊥AB,在Rt ΔPEF中
AE=√2,AF=1,EF=√3,cosa=AF/EF=1/√3=√3/3
2）、
PE=√6,PC=√12,EC=√6
∴ ΔPEC是RtΔ,PE⊥EC
又,EF=√3,EC=√6,FC=3
ΔEFC是RtΔ,EC⊥EF,EC⊥平面PEF
∠PEF即平面PEC与平面DEC的夹角,亦即二面角P-CE-D的大小
PF=√3=EF,所以,二面角P-CE-D的大小等于45度
3）、本题主要在于作图,图做出来以后,很简单
以ABCD为底面,过P作平行于ABCD的平面A1B1C1D1,得到长方体
作FM//EC交CD于M,作MN//DD1,交C1D1于N,连接PN
过G作GP1//PE交PN于P1,再过P1作P1Q//PF交DG于Q
RtΔPEF≌RtΔP1QG,平面PEF//平面P1QG .
PP1NCGE共面
QG=EF,P1Q=PF,∠P1GQ=45度
在三角形P1DG中,作DH⊥P1G,RtΔDHG为等腰直角三角形
∵ CG⊥DH
∴ DH⊥P1G,DH⊥CG,即DH⊥平面PEF
DH即为所求点D到平面PCE的距离
QG=EF=P1Q=√3,P1G=PE=√6
作AT//EC交CD于T,T为CD中点,AT//EC//FM,F为AD中点
则DM=AT/2=√2/2,DQ=X,DQ:DG=DM:CD
X:(X+√3)=1:4
4X=X+√3,X=√3/3=DM,DG=DM+QG=DM+EF=4√3/3
DH=DG*√2/2=2√6/3