什么是几何测度

什么是几何测度

20世纪初测度论的建立，使得人们对R中的子集关于n维勒贝格测度μn的行为有了很好的了解。大部分函数论由于勒贝格积分论而产生了巨大变化。但是在处理与R中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。例如著名的普拉托问题，在二维曲面时尚可以结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格方法而解决。而在曲面的维数超出2时,这些经典的方法就失败了。几何测度论正是在这种背景下产生。它始于1914年C.卡拉西奥多里关于测度论的基础性工作，经过几十年的发展，熔合了来自分析、几何、代数拓扑中的许多技巧，产生了许多新的概念，成为数学研究的一个有力工具。
豪斯多夫测度与可求积集合在卡拉西奥多里的工作出现以后的开始20～30年内，大部分的兴趣在于了解R中的子集关于m 维豪斯多夫测度, 积分几何测度等各类测度的行为。对于A嶅R,0≤k<∞,δ>0,定义A的k维豪斯多夫测度（简称h测度）为几何测度论
，
式中几何测度论
。h测度是R中的一个博雷尔正则测度。又定义inf{k:h(A)=0}为A的豪斯多夫维数,简称h 维数。当k=n时，h(A)=μn(A)，n=0时h(A)为A的元素个数。0和n中间每个数均可出现为R中某个子集的h 维数。例如康托尔集的h 维数为ln2/ln3。
设A的h测度有限, 在k>0时,若存在R中某个有界子集到 A的李普希茨映射（即二点距离的增长比受到某个正常数控制的映射）,那就称A为k可求积集（k=0时为有限集，也称可求积集）。如果A除了一个h测度为0的子集外,为可列个k可求积集合覆盖,就称A为(h,k)可求积集。集合的可求积性质是一阶光滑流形的某种推广。事实上,A为(h,k)可求积集合的充要条件是：除了一个h测度为0的子集外,它可由R中可列个C类k维子流形所覆盖。可求积集合的这种描述使得对于它的构造的研究，特别是它的射影性质的研究成为几何测度论的重要内容。在A不含有h测度大于0的k可求积子集时,称A为纯粹(h,k)不可求积集合。
设p:R→R为正交射影,即保持内积不变的线性映射。其共轭记为p,它的全体记为几何测度论
(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通过右乘可递地作用在几何测度论
(n, k)上。这个运算在几何测度论
(n,k)上诱导出惟一的不变测度θ,使得空间几何测度论
(n,k)关于θ的全测度等于1，那么当A为(h,k)可求积集合时，成立几何测度论
式中几何测度论
。上式右边即为A的积分几何测度I几何测度论
，它先在A与n-k维仿射子空间p(y)的交集上积分，然后让p取遍所有正交射影。因此这个式子反应了 (h，k)可求积集合的射影性质。这是求平面曲线长度的克罗夫顿方法的推广，也类似于柯西寻求凸体周界面积的方法。另一方面, 对于h测度有限的任何博雷尔集B，总存在博雷尔子集C嶅B,使得几何测度论
，几何测度论
,且(B\C为纯粹(h,k)不可求积。进一步,几何测度论
成立,当且仅当B为(h,k)可求积。以上这些结果首先为A.S.贝斯尔科里奇对平面上的h测度得到。1947年，H.费德雷尔证明了一般情形。
在几何测度论发展早期就知道，对于R中每个勒贝格可测集W以及R到R的李普希茨映射ƒ，有面积公式几何测度论
，
式中Jkƒ(x)为ƒ的雅可比式。在ƒ为一一时，右边的积分就等于h(ƒ(W)),因此对于n可求积集合,它的h测度就等于微分几何中的 n维体积。利用映射在一点“近似可微”这个概念, 可以将这个公式推广到R中的(h,k)可求积集合。但在ƒ(W )的h 维数小于n时，公式反映的信息很少。1957年，费德雷尔证明：对每个李普希茨映射几何测度论
,及每个μn可测集W 成立余面积公式：几何测度论
。
面积公式与余面积公式分别应用于目标空间的维数至少为n与至多为n的情形。因此可将它们看成是对偶的公式，余面积公式也已被推广到(h,k)可求积集合的情形。这些公式的研究使得人们了解到，关于可微映射的积分变换的本质上的假定在于对这个映射的雅可比式秩的限制。
密度密度与近似切锥是描述一个测度局部行为的两个重要概念。对于拉东测度v，以α为心,r为半径的球关于v的测度与几何测度论
的比值，在r→0时的上极限与下极限分别称为测度v在α点的k维上密度与k维下密度。二者相等时就称为k维密度几何测度论
(v,α)。利用上密度可以定义集合的近似切锥，它何时成为向量空间与该集合的可求积性质和射影性质有着深刻的联系。利用密度定义的另一个重要概念是集合在一点的外法线。当集合有光滑边界时，这个概念非常直观，在一般情形相当复杂。
给定点集Q，如下定义新的测度у墯Q:集合G关于у墯Q 的测度у墯Q(G)=у(Q∩G)。集合A在一点b的外法线是如下确定的一个单位向量u=n(A，b),当Q1为过b点且以u为法向的超平面围成的半空间(x-b)·u>0时，几何测度论
几何测度论
,Q2为另一半空间(x-b)·u<0时,几何测度论
。这个概念只含有点集A关于μn的测度论行为，而不用预先知道A的拓扑结构,甚至边界的概念也未提到。这样可塑的概念使高斯-格林公式推广到相当一般的程度:设集合A嶅R,令几何测度论
,几何测度论
。如果对每个紧集几何测度论
,那么对R上有紧集的每个李普希茨一阶向量场ξ，成立几何测度论
。
另一方面，若以BdryA记A的普通边界，那么在对R的每个紧集K，都有几何测度论
时,上述条件满足，从而推广的高斯-格林公式也成立。
整流长期以来，人们就寻求着n维空间中“k维积分区域”的分析与拓扑的描述。这个概念应该保留微分流形的光滑性与整系数多面体链的组合性质所带来的好处，同时为满足变分的需要，这类区域应具有某种紧致性质。“整流”正是为这样的需要而产生。
设U 为R中的开集，以几何测度论
(U)记紧支集落在U内的m 阶光滑微分形式全体。几何测度论
(U)上的线性泛函称为m维流,其全体记为几何测度论
m(U)。流S ∈几何测度论
m(U)的支集sptS理解为U内的最小相对紧子集C, 使得对一切满足 sptφCU\C的 φ∈几何测度论
(U ), 有S(φ)=0。流这个概念是由法国数学家G.-W.德·拉姆为研究霍奇理论而引入的。由于一个曲面决定于对定义在它上面的任意 m阶光滑微分形式的积分运算。因此m 维几何曲面可以分析地表示成一个流。特别地,由点α0,α1,…,αm生成的单纯形若落在U内,那么它也代表一个流。这种流的整系数线性组合，称为U中的一个整系数多面体链。如果一个流可以用整系数多面体链关于李普希茨映射的像来逼近，就称它为可求积流。利用边缘算子д可以构成新的流дS,定义为дS(φ)=S(dφ)。这里d为外微分运算，如果S与дS均为可求积流,就称S为整流。例如每个一维整流是总长度小于∞的有限多条单弧与可数条单闭弧的和。R 中的每个n维整流可表示成几何测度论
,其中e1,e2,…,en为R的切空间的标准基，A为使得推广的高斯-格林公式成立的勒贝格可测集。当1如果流S可以表示成R+дT，R和T都是可求积流,就称S为整平坦链。利用边缘算子可以建立这类流的同调理论。它与局部李普希茨范畴内的、整系数的经典奇异同调论同构。但对于积分问题，相交理论等，这种链群明显地优于奇异链群。因为与奇异链不一样，一条平坦链与其分刈等同,这就简化了循环的构造,并得到较好的实系数上循环。不仅如此，还发现所谓的等周不等式不仅对经典的微分几何中某些特殊情形成立，而且对这种同调论有类似估计，这就将代数拓扑与测度论联系起来了。
可以用流的理论来研究普拉托问题，存在性定理表明极小曲面总是一个m维局部可求积流，即这样的流S∈几何测度论
m(U),对每个x∈U，总存在紧支集在U内的可求积流R，使x媂spt(S-R)。曲面的光滑性问题就是sptS的光滑性问题。若α∈sptS存在领域V嶅R,使V∩sptS为C类m维子流形,就称α为正则点，否则就称奇点。由于几何测度论的发展,使高维普拉托问题取得重大进展。当m ≤6时极小曲面是光滑的,在m≥7时奇点集的h 维数不超过m-7。
类似于局部可求积流，可以定义局部整流，局部整平坦流。后者与流形上分析中的实解析子簇与复解析子簇有十分密切的关系。
弱可微函数又称有界变差函数。R上光滑函数的可微性可以用这样的方法来刻画：对于R上有紧支集的李普希茨向量场ξ，成立
几何测度论
，但是右边的积分并不一定要求ƒ光滑,仅要求ƒ局部μn可积。因此ξ(x)的这个线性泛函可以看成 ƒ 的测度论意义下的弱微分，只要它满足里斯表示定理的有界性假定。这种ƒ 称作弱可微函数。开集几何测度论
上的弱可微函数全体记为BV(几何测度论
),则BV(几何测度论
)按范数几何测度论
形成巴拿赫空间。弱可微函数曾在各种场合下出现，首先在勒贝格面积论，而后在偏微分方程论中，特别地，它是极小曲面的理论中的有力工具。
参考书目
H. Federer,Geometric Measure Theory,Springer-Verlag, Berlin, 1969.
E.Giusti,MiniMal Surfaces and Functions of Bounded variation,Birkh user, Basel-Stuttgart, 1984.
H.Whitney,Geometric Integration Theory,PrincetonUniv. Press, Princeton, 1957.