若定义在[-2013，2013]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[-2013，2013]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（

若定义在[-2013，2013]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[-2013，2013]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2012，且x＞0时，有f（x）＞2012，f（x）的最大、小值分别为M、N，则M+N的值为（　　）A．2011B．2012C．4022D．4024

令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-2012，
∴f（0）=2012，
令-2013≤x1＜x2≤2013，且x2-x1=t＞0，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1+t）=f（x1）-f（x1）-f（t）+2012=2012-f（t）
∵t＞0，
∴f（t）＞2012，
∴2012-f（t）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上为单调递增函数．
令x2=-x1∈[-2013，2013]，
则由f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2012得：f（0）=f（x1）+f（-x1）-2012=2012，
∴f（x1）+f（-x1）=4024．
∵函数f（x）在R上为单调递增函数，
∴M+N=f（-2013）+f（2013）=4024．
故选：D．

证明：
(1).不成立.f(x1+x2)=lg(x1+x2)≠lg(x1x2)
(2).成立.f(x1x2)=lg(x1x2)=lg(x1)+lg(x2)=f(x1)+f(x2)
(3).成立.
∵f(x)是增函数
当x1>x2时,f(x1)>f(x2)，即[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0
当x1<x2时,f(x1)<f(x2)，即[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0
(4).不成立.
f[(x1+x2)/2]=lg[(x1+x2)/2]
[f(x1)+f(x2)]/2=lg√(x1x2)
∵(x1+x2)/2≥√(x1x2)
∴lg[(x1+x2)/2]≥lg√(x1x2)，即f[(x1+x2)/2]≥[f(x1)+f(x2)]/2