设f（x）是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1（

设f（x）是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求f（0）．（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0．（3）求证：f（x）在R上是减函数．（4）若f（x）?f（2+x）＞1，求x的取值范围．

（1）可得f（0）?f（0）=f（0）
∴f（0）=1，或f（0）=0，
若f（0）=0，令y=0，则f（0）=0恒成立，故舍去，
∴f（0）=1
（2）任意的x，y∈R，令x=y=
1
2 x，
则f（x）=f（
1
2 x+
1
2 x）=f（
1
2 x）?f（
1
2 x）=[f（
1
2 x）]2＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0．
（3）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]
∵x1-x2＜0
∴f（x1-x2）＞f（0）=1
∴f（x1-x2）-1＞0
对f（x2）＞0
∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0
∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数
（4）∵f（x）?f（2+x）＞1，
∴f（2+2x）＞1=f（0），
∵f（x）在R上是减函数，
∴2+2x＜0
解得x＜-1，
故x的取值范围为（-∞，-1）

设f(x)是定义在r上的函数，对任意x,y∈r，恒有f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，有00,f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,与当x>0时，有00； 对于任意的x>0，有00,所以01>0. 综上有 对于任意x∈r,恒有f（x）＞0 证明：2.对于任意的x10, f(x2)-f(x1)=f(x1+x0)-f(x1)=f(x1)f(x0)-f(x1)=f(x1)[f(x0)-1] 由于x0>0，所以00,所以f(x2)-f(x1)<0 所以函数f（x）在r上是减函数