关于求极限lim∫(0→1)x^n/1+xdx=0

想问为什么不能用积分中值定理？解析里的没看懂

实际上是可以采用中值定理的，只不过推导过程麻烦一点：
用中值定理得出的解应该为：
lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]
因为ξn具体取什么值是由n决定的，所以分数上下的ξ值都应该写作ξn，如果要证明
lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，则需要证明在取n趋向于无穷大的任意一个n时，这个以n为变量的ξn都不包括1(因为ξn的区间是[0,1])。
扩展资料
求极限基本方法有：
1.直接代入法
对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。
（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

评注里写的有点纰漏，实际上是可以采用中值定理的，只不过推导过程麻烦一点： 用中值定理得出的解应该为： lim∫(0→1)[(x^n)/(1+x)]dx=lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)] 因为ξn具体取什么值是由n决定的，所以分数上下的ξ值都应该写作ξn，如果要证明 lim(1-0)*[(ξn^n)/(1+ξn)]=0，则需要证明在取n趋向于无穷大的任意一个n时，这个以n为变量的ξn都不包括1(因为ξn的区间是[0,1])。 要证明这个也不难： 只要证明(x^n)/(1+x)在n大于任意一个数时,x∈[0,1],为单调递增或递减函数就可以了，因为如果函数单增或单减，则ξn必在(0,1)之间，不可能取到1。 (x^n)/(1+x) 求导得： ((x^n)/(1+x))'=(n*x^(n-1)*(1+x)-x^n)/(1+x)^2=(n*x^(n-1)+(n-1)*x^n)/(1+x)^2，用肉眼可以看出n>1,x∈[0,1]，时导数都是大于0的，因此ξn取不到1。

0 < xⁿ/(1 + x) < xⁿ 0 < ∫(0→1) xⁿ/(1 + x) dx < ∫(0→1) xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) |(0→1) = 1/(n + 1) ∵lim(n→∞) 1/(n + 1) = 0 ∴lim(n→∞) ∫(0→1) xⁿ/(1 + x) dx = 0 0 ≤ |∫(n→n + k) (sinx)/x dx| ≤ ∫(n→n + k) |sinx|/|x| dx ≤ ∫(n→n + k) 1/n dx = k/n ∵lim(n→∞) k/n = 0 ∴lim(n→∞) ∫(n→n + k) (sinx)/x dx = 0