△ABC的内切圆I分别切BC,CA,AB于点D,E,F,M是∠BIC的角平分线与边BC的交点,P是EF与AM的交点。
证明:DP是∠FDE的角平分线。
(本人不知道怎么用电脑画这个图,麻烦高手们看题后自己画图吧,万分感谢!)
不会的请不要乱来回答,需要正真的高手!!!
△ABC的内切圆I分别切BC,CA,AB于点D,E,F,M是∠BIC的角平分线与边BC的交点,P是EF与AM的交点。
证明:DP是∠FDE的角平分线。
(本人不知道怎么用电脑画这个图,麻烦高手们看题后自己画图吧,万分感谢!)
不会的请不要乱来回答,需要正真的高手!!!
思路分析:要证明DP是∠FDE的角平分线,只需证明EP/PF=ED/DF成立即可。
证明:设 X,Y为AM上的点,使BX//CY//EF
∴△BXM∽△CMY
又∵IM平分∠BIC
∴CY/BX=CM/BM=CI/IB
又∵FP//BX,EP//CY,AE=AF
∴EP/PF=(EP/CY)·(CY/BX)·(BX/PF)=(AE/AC)·(CI/IB)·(AB/AF)=(AB·CI)/(AC·IB)-------①
设 ∠ABC=2a,∠ACB=2b,则在△ABC和△IBC中,用正选定理可以得到:
AB/AC=sin2b/sin2a=(sinb·cosb)/(sina·cosa)=(BI/CI)·(cosb/cosa)-------②
把②带入①可以得到:EP/PF=cosb/cosa
设 △ABC内切圆的半径为R,那么DE=2Rsin∠DFE=2Rsin∠EDC=2Rsin∠(90°-b)=2Rcosb
同理可证:DF=2Rcosa
∴DE/DF=cosb/cosa
∴DE/DF=EP/FP
∴DP是∠FDE的角平分线
(因为图片审核比较慢,所以先给证明过程给你吧,那个图我一会发给你好吗?O(∩_∩)O)
题目有没有错啊,我看AM反而是角EMF的平分线