一道数学题：如图,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC的顶角∠BDC=120°

如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC的顶角∠BDC=120°的等腰三角形。以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成△AMN求证△AMN的周长=2

没有∠BDC=120° ok?

解：令CP=BM，交AC延长线于P，连接DP． ∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°又∵△ABC等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60° ∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90° 同理可得∠NCD=90° ∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90° ∴△BDM≌△CDP ∴MD=PD ∠MDB=∠PDC ∵∠MDN=60° ∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即∠MDN=∠PDN=60° ∴△NMD≌△NPD（SAS） ∴MN=PN=NC+CP=NC+BM ∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2+2=4 故△AMN的周长为4． 故填4．

 延长NC至点E,使CE=BM,连结DE ∵BD=DC ∴∠CBD=∠BCD 而∠CBD+∠BCD+∠BDC=180 又∵∠BDC=120 ∴∠CBD=∠BCD=30 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60 ∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠BCD=90 即∠ABD=∠ACD=90 又∵∠ACD+∠DCE=180 ∴∠DCE=∠ABD=90 用BD=CD,∠ABD=∠DCE,BM=CE 求出△BDM≌△CDE ∴∠BDM=∠CDE 又∵∠BCD=120,∠MDN=60 ∴∠NDE=∠MDN=60 用MD=ED,∠MDN=∠NDE,DN=DN 求出△MDN≌△EDN ∴MN=NE 即MN=CN+BM C△AMN=AM+AN+MN =AB+AC =2

 延长NC至点E,使CE=BM,连结DE ∵BD=DC ∴∠CBD=∠BCD 而∠CBD+∠BCD+∠BDC=180 又∵∠BDC=120 ∴∠CBD=∠BCD=30 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60 ∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠BCD=90 即∠ABD=∠ACD=90 又∵∠ACD+∠DCE=180 ∴∠DCE=∠ABD=90 用BD=CD,∠ABD=∠DCE,BM=CE 求出△BDM≌△CDE ∴∠BDM=∠CDE 又∵∠BCD=120,∠MDN=60 ∴∠NDE=∠MDN=60 用MD=ED,∠MDN=∠NDE,DN=DN 求出△MDN≌△EDN ∴MN=NE 即MN=CN+BM C△AMN=AM+AN+MN =AB+AC =2