数列错位相减法例题

数列错位相减法例题

已知数列是等差数列，且 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令求数列前n项和的公式.

错位相减法　　错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 　　形如an=bncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；分别列出sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即ksn；然后错一位，两式相减即可。 　　例如，求和sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0） 　　当x=1时，sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2； 　　当x不等于1时，sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； 　　∴xsn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n； 　　两式相减得(1-x)sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n； 　　化简得sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 　　sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 　　两边同时乘以1/2 　　1/2sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 　　两式相减 　　1/2sn=1/2-1/2^(n+1) 　　sn=1-1/2^n 　　错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）： 　　s=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1） 　　在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下： 　　as= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2） 　　用（1）—（2），得到等式（3）如下： 　　（1-a）s=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3） 　　（1-a）s=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　　s=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。 　　（1-a）s=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到s的通用公式了。 　　例子:求和sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0） 　　解：当x=1时，sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方 　　当x不等于1时，sn=sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方 　　所以xsn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方 　　所以两式相减的（1－x）sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。 　　化简得：sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方 　　cn=(2n+1)*2^n 　　sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 　　2sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 　　两式相减得 　　-sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) 　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) 　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) 　　=(1-2n)*2^(n+1)-2 　　所以sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 　　错位相减法 　　这个在求等比数列求和公式时就用了 　　sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 　　两边同时乘以1/2 　　1/2sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 　　两式相减 　　1/2sn=1/2-1/2^(n+1) 　　sn=1-1/2^n