证明向量b可由a1,a2...as唯一线性表示，则向量组a1 a2....as线性无关

证明向量b可由a1,a2...as唯一线性表示，则向量组a1 a2....as线性无关

此题可用反证法。
假设a1，a2…as线性相关，那么存在不全为零的数使得k1*a1+k2*a2……+ks*as=0
而且b，a1，a2…as也是线性相关的，故向量b可由向量组a1，a2…as线性表示
又k1*a1+k2*a2……+ks*as=0可将第一个表达式中的某项代换
故存在了两种表示法，与之矛盾。所以a1，a2…as线性无关。



扩展资料：
线性相关性和向量组的相关要求规定：
1、在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 (linearly independent)。
2、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。任一向量组和它的极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。
3、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。
参考资料来源：百度百科-线性相关
参考资料来源：百度百科-等价向量组

|b可由向量a1,a2,,as线性表示 方程组 (a1,a2,,as)x=b 有解 充分性：因为a1,a2,,as线性无关 所以 |a1,a2,,as|不等于0 故方程组唯一解，即唯一表出 必要性：因为表示法唯一 所以方程组唯一解 所以 |a1,a2,,as|不等于0 故a1,a2,,as线性无关

非零向量b可由向量组a1，a2……as线性表示 <=> 非齐次线性方程组 x1a1+...+xnan =b 有解. 表示法唯一 <=> 方程组 x1a1+...+xnan =b 有唯一解 <=> 系数矩阵(a1,...,an) 的秩等于 n <=> a1,...,an 线性无关