【倍角公式】所有倍角公式

【倍角公式】所有倍角公式

【答案】 现列出公式如下：
　　sin2α=2sinαcosα
　　tan2α=2tanα/（1-tan^2（α））
　　cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）
　　可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.包括一些图像问题和函数问题中
　　和差公式
　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
　　三倍角公式
　　sin3α=3sinα-4sin^3（α）=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）
　　cos3α=4cos^3（α）-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
　　tan3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）/(-1+3*tan（α）^2）=tan a · tan（π/3+a）· tan（π/3-a)
　　半角公式
　　sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
　　cos^2（α/2）=（1+cosα）/2
　　tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
　　tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
　　万能公式
　　sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
　　cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
　　tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
　　积化和差公式
　　sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
　　cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
　　cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
　　sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
　　和差化积公式
　　sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
　　sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
　　cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
　　cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
　　其他
　　sinα+sin（α+2π/n)+sin（α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1）/n]=0
　　cosα+cos（α+2π/n)+cos（α+2π*2/n)+cos（α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1）/n]=0 以及
　　sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2
　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
　　四倍角公式
　　sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
　　cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）
　　tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
　　五倍角公式
　　sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
　　cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
　　tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
　　六倍角公式
　　sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））
　　cos6A=((-1+2*cosA^2）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））
　　tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6）
　　七倍角公式
　　sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））
　　cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））
　　tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
　　八倍角公式
　　sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1））
　　cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）
　　tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
　　九倍角公式
　　sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））
　　cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））
　　tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
　　十倍角公式
　　sin10A=2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
　　cos10A=((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
　　tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）
　　N倍角公式
　　根据棣美弗定理,（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）
　　为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c
　　考虑n为正整数的情形：
　　cos(nθ）+ i sin(nθ）
　　= (c+ i s)^n
　　= C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ...
　　+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ...
　　=>；比较两边的实部与虚部
　　实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ...
　　i*（虚部）：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ...
　　对所有的自然数n,
　　⒈cos(nθ）：
　　公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2（平方关系）,因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示.
　　⒉sin(nθ）：
　　⑴当n是奇数时：
　　公式中出现的c都是偶次方,而c^2=1-s^2（平方关系）,因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示.
　　⑵当n是偶数时：
　　公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2（平方关系）,因此即使再怎么换成s,都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉.
　　（例.c^3=c*c^2=c*（1-s^2）,c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
　　特殊公式
　　（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
　　证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]
　　=sin（a+θ）*sin（a-θ）[1]

我明天再问问老师，叫他解释下这个问题