若(|x-2|+|x-1|)(|y-3|+|y+1|)(|z-1|+|z+1|)=8,求x+y+z

若(|x-2|+|x-1|)(|y-3|+|y+1|)(|z-1|+|z+1|)=8,求x+y+z

先给结论：x,y,z的取值范围只能如下：
1≤x≤2，-1≤y≤3，-1≤z≤1
∴x+y+z的最大值为M=2+3+1=6
x+y+z的最大值为m=1+(-1)+(-1)=-1

下面给出一个简单的证明（当然可能不是最严谨的证明）：
设a=|x-2|+|x-1|，b=|y-3|+|y+1|，c=|z-1|+|z+1|
则有 abc=8
①假设x的值超出上述限值，比如x>2，而y,z不超限
则有 a=|x-2|+|x-1|=2x-3=2(x-1.5)
b=|y-3|+|y+1|=3-y+y+1=4, c=|z-1|+|z+1|=1-z+z+1=2
∴abc=2(x-1.5)*4*2=8*2(x-1.5)
∵x>2，∴2(x-1.5)>1，∴abc=8*2(x-1.5)>8
即与已知的等式abc=8矛盾，∴x>2不成立
又比如x<1，则有a=2(1.5-x)>1，
同样有abc=8*2(1.5-x)>8，与已知矛盾
∴x的取值不可能超出上述范围
同理可证，y或z也不可能单独超限
②假设x,y超限，而z不超限，
则有 a=2(x-1.5)或 2(1.5-x), b=2(y-1)或2(1-y)
上述①已经证明，不论x,y取超限外的何值，均有a>1，b>4
∴总有abc=2ab>2*1*4=8，与已知矛盾
③对于x,y,z均超限的情况，证法类似
不论取超限外的何值，总有 a>1, b>4, z>2
∴总有 abc>1*4*2=8，与已知矛盾

综上所述，x,y,z的取值只能为：
1≤x≤2，-1≤y≤3，-1≤z≤1
此时，等式左端括号内的两个绝对值去掉后有一个反号
刚好将变量x,y,z均消除掉，正好有 a=1, b=4, c=2
∴abc=1*4*2=8，等式恒成立
∴x,y,z均取最大值时，x+y+z取得最大值M=6
x,y,z均取最小值时，x+y+z取得最小值m=-1