已知函数f（x）=mx2-x+lnx．（1）当m=-1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D

已知函数f（x）=mx2-x+lnx．（1）当m=-1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值．

（1）当m=-1时，f（x）=-x2-x+lnx，
所以f′（x）=-2x-1+
1
x =-
(2x?1)(x+1)
x ，
所以当0＜x＜
1
2 ，f′（x）＞0，当x＞
1
2 ，f′（x）＜0，
因此当x=
1
2 时，f（x）max=f（
1
2 ）=-
3
4 -ln2．（3分）
（2）f′（x）=2mx-1+
1
x =
2mx2?x+1
x ，
即2mx2-x+1＜0在（0，+∞）上有解．
①m≤0显然成立；
②m＞0时，由于对称轴x=
1
4m ＞0，故△=1-8m＞0，所以m＜
1
8 ，
综上，m＜
1
8 ．（8分）
（3）因为f（1）=m-1，f′（1）=2m，所以切线方程为y-m+1=2m（x-1），即y=2mx-m-1，
从而方程mx2-x+lnx=2mx-m-1在（0，+∞）上只有一解．
令g（x）=mx2-x+lnx-2mx+m+1，则g′（x）=2mx-1-2m+
1
x =
2mx2?x?2mx+1
x =
(2mx?1)(x?1)
x （10分）
所以1°m=
1
2 ，g′（x）≥0，所以y=g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，所以mx2-x+lnx=2mx-m-1只有一解．（12分）
2°0＜m＜
1
2 ，x∈（0，1），g′（x）＞0；x∈（1，
1
2m ），g′（x）＜0；x∈（
1
2m ，+∞）），g′（x）＞0，
由g（1）=0及函数单调性可知g（
1
2m ）＜0，
因为g（x）=mx[x-（2+
1
m ）]+m+lnx+1，取x=2+
1
m ，则g（2+
1
m ）＞0．
因此在（
1
2m ，+∞）），方程mx2-x+lnx=2mx-m-1必有一解，从而不符题意（14分）
3°m＞
1
2 ，x∈（0，
1
2m ），g′（x）＞0；x∈（
1
2m ，1）），g′（x）＜0；x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
同理在（0，
1
2m ），方程mx2-x+lnx=2mx-m-1必有一解，从而不符题意．（16分）

解:因为f(x)=mx^2+lnx-2x 所以f(x)的导数=2mx+1/x-2=(2mx^2-2x+1)/x。又x>0，函数f(x)=mx^2+lnx-2x在定义域内是增函数，则2mx^2-2x+1>=0,则m>=(2x-1)/2x^2。令(2x-1)/2x^2=g(x)，则g(x)的导数=-4x(x-1)/4x^4，当-4x(x-1)>=0，即0=1时，g(x)是减函数。所以g(x)的最大值=g(1)=1/2。要使m>=(2x-1)/2x^2恒成立，即m大于且等于(2x-1)/2x^2的最大值。所以m>=1/2。即m的取值范围为[1/2，正无穷]