用导数的定义求反正切函数的导数,教材上反正切函数的导数是用反函数的方法证明的,没有给出用导数的定义来

用导数的定义求反正切函数的导数,教材上反正切函数的导数是用反函数的方法证明的,没有给出用导数的定义来

证明： 设 y = atan(x) ；　　 y+Δy = atan(x+Δx),则：　 atan’(x) = (Δx-->0)lim[atan(x+Δx) – atan(x)]/ Δx = (Δx-->0)limΔy/ Δx　 又由反函数关系有：　　 x = tan(y)　　 x+Δx = tan(y+Δy) = [tan(y) +tan(Δy)]/[1-tan(y)*tan(Δy)]　　 = [x +tan(Δy)]/[1-x*tan(Δy)] ==> (x+Δx )*[1-x*tan(Δy)] = x+ tan(Δy) ==> tan(Δy) = Δx/(1+ x²+x*Δx)　　显然,当Δx-->0时,Δy-->0　　在用夹逼定理证明 x-->0时sin/x的极限时,我们知道　　 (x-->0)lim(sinx/x) = (x-->0)lim(tanx/x) = 1　　因此：　　 (Δx-->0)lim[(tan(Δy)/Δx)/( Δy/Δx)] = (Δy-->0)lim[(tan(Δy)/Δy) = 1　==> (Δx-->0)lim(Δy/Δx) = (Δx-->0)lim[tan(Δy)/Δx]　　 = (Δx-->0)lim[1/(1+ x²+x*Δx)] = 1/(1+ x²)　　即：　　 atan’(x)=1/(1+ x²)　　

我学会了