设x为实数，则函数y＝3x

将函数y＝
3x2+6x+5

1
2x2+x+1整理为关于x的一元二次方程得：
（y-6）x²+（2y-12）x+2y-10=0，（y-6≠0），
由x为实数，
∴△=（2y-12）²-4（y-6）（2y-10）≥0，
化简得出不等式y²-10y+24≤0，
解得4≤y≤6（y≠6），
当y取最小值4时，x=-1，
∴分式的最小值为4．
故答案为：4．

试题解析：

先整理式子y＝

3x2+6x+5

1 2 x2+x+1

得（y-6）x²+（2y-12）x+2y-10=0，此时△≥0，得出y的范围由此即可求得y的最小值．

名师点评：

本题考点： 二次函数的最值．
考点点评： 本题考查了二次函数的最值，难度一般，此类题关键是把原函数式整理化简为关于x的一元二次方程．