证明三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等

证明三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等

设∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆于D,E是△ABC的内心.则BD＝CD＝ED.∵三角形的内心是其三条内角平分线的交点,　∴E在AD上.∴由三角形外角定理,有：∠BED＝∠BAD＋∠ABE.∵三角形的内心是其三条内角平分线的交点,　∴∠ABE＝∠CBE.∵A、B、D、C共圆,　∴∠CBD＝CAD.由∠ABE＝∠CBE、∠CBD＝CAD,得：∠ABE＋∠CAD＝∠CBE＋∠CBD＝∠DBE.而∠BAD＝∠CAD,∴∠ABE＋∠BAD＝∠DBE.由∠BED＝∠BAD＋∠ABE、∠ABE＋∠BAD＝∠DBE,得：∠BED＝∠DBE,　∴BD＝ED.显然,由∠BAD＝∠CAD,得：BD＝CD.由BD＝ED、BD＝CD,得：BD＝CD＝ED.

∵三角形的内心是其三条内角平分线的交点，　∴∠ABE＝∠CBE。 ∵A、B、D、C共圆，　∴∠CBD＝CAD。 由∠ABE＝∠CBE、∠CBD＝CAD，得：∠ABE＋∠CAD＝∠CBE＋∠CBD＝∠DBE。 而∠BAD＝∠CAD，∴∠ABE＋∠BAD＝∠DBE。

设∠bac的平分线ad交△abc的外接圆于d，e是△abc的内心。则bd=cd=ed。 ∵三角形的内心是其三条内角平分线的交点， ∴e在ad上。 ∴由三角形外角定理，有:∠bed=∠bad+∠abe。