一道数学题：直角三角形中线

一道数学题：直角三角形中线

如图，设六个小三角形分别为△1、△2、△3、△4、△5、△6
因为D、是BC的中点，即BD=DC，又△ABD与△ADC在BC边上的高相等，所以 S△ABD=S△ADC =1/2 S△ABC
即S△1+S△2+S△3=S△4+S△5+S△6 .......（1）
同理   S△ACF=S△BCF=1/2 S△ABC
        S△ABE=S△BCE=1/2 S△ABC    
即   S△1+S△5+S△6=S△2+S△3+S△4    .......（2）
     S△1+S△2+S△6=S△4+S△5+S△3   .......（2）
即S△1+S△2+S△3=S△4+S△5+S△6=S△1+S△5+S△6=S△2+S△3+S△4= S△1+S△2+S△6=S△4+S△5+S△3
解得S△1=S△2=S△3=S△4=S△5=S△6
即六个小三角形相等

证全等

如图，设六个小三角形分别为△1、△2、△3、△4、△5、△6
因为D、是BC的中点，即BD=DC，又△ABD与△ADC在BC边上的高相等，所以 S△ABD=S△ADC =1/2 S△ABC
即S△1+S△2+S△3=S△4+S△5+S△6 .......（1）
同理 S△ACF=S△BCF=1/2 S△ABC
S△ABE=S△BCE=1/2 S△ABC
即 S△1+S△5+S△6=S△2+S△3+S△4 .......（2）
S△1+S△2+S△6=S△4+S△5+S△3 .......（2）
即S△1+S△2+S△3=S△4+S△5+S△6=S△1+S△5+S△6=S△2+S△3+S△4= S△1+S△2+S△6=S△4+S△5+S△3
解得S△1=S△2=S△3=S△4=S△5=S△6
即六个小三角形相等

过O做AB 边上的高 就可得到SAMO=SBMO=1/2(H*1/2AB)
同理得剩下的两边的三角形  同理也得SAMC=SBMC
SAMC-SAMO=SBMC-SBMO得到SAOC=SBOC=2SBON=2SAOK 可以得到 SBON=SAOK
   类推就得到所有的相等了

楼主可以首先把图形画出来
证明：设三角形ABC，三条中线AF、BH、CE交于一点G.所以GF、GH、GE分别为三角形BCG、AGC、AGB的中线，
而三角形的面积S=1/2*底*高，
所以三角形的面积AGH=CGH， BGF=CGF， AGE=BGE。
而三角形的面积ABF=ACF，又BGF=CGF,
所以面积ABG=ACG=AGE+BGE=AGH+CGH=2*AGE=2*AGH
所以三角形面积AGE=AGH、又AGE=BGE
所以相邻的小三角形面积相等
从而被分割的三角形每块面积都相等

借用若尘的图：
连接DE，设DE与CF交点为G
∴DE为△ABC平行AB边的中位线，G为DE中点
∴S(△CGD)=S(△CGE),S(△OGD)=S(△OGE)
∵S(△CGD)+S(△OGD)=S(△COD)；
  S(△CGE)+S(△OGE)=S(△COE)；
∴S(△COD)=S(△COE)=S(△AOE)
同理可得其他。