矩阵2 2 0 0,0 2 0 0,0 0 3 3,0 0 0 3的Jordan标准型和最小多项式是什么，重分求解

矩阵2 2 0 0,0 2 0 0,0 0 3 3,0 0 0 3的Jordan标准型和最小多项式是什么，重分求解

解: 记所给的矩阵为A.
1. | A - λE| = (2 - λ)^2 (3 - λ)^2. 得A的特征值为 2,3, 且其代数重数分别为 2, 2
(此决定对应某个特征值的总阶数)
2. 简单计算可得 r ( A - 2E) = 3, 所以 特征值2的Jordan块数 = 4 - 3 = 1.
同样 r ( A - 3E) = 3, 所以 特征值3的Jordan块数 = 4 - 3 = 1.
所以 A的Joran标准型为: (2,1,0,0; 0,2,0,0; 0,0,3,1; 0,0,0,3).
其极小多项式为各块极小多项式的最小公倍, 即得 m(x) = (x-2)^2 (x-3)^2

ⅰ. 矩阵a的特征多项式f(x)=∏{1≤i≤k}(x-λi)^(ai) 最小多项式g(x)=∏{1≤i≤k}(x-λi)^(bi) a的 jordan标准型中有ci个关于λi的jordan块, 根据定理得:则bi=这ci个jordan块的最大阶数. ⅱ. 若ai=bi==>ci=1, 即jordan标准型中只有1个关于λi的jordan块. ==> 如果矩阵a的特征多项式和最小多项式相同 <==> jordan标准型中每个不同的λi,只有1个关于λi的jordan块.