过椭圆C x^2/4b^2+y^2/b^2=1(b>0)右焦点F且斜率为k的直线与C相交与A、B两点,若向量AF=3向量

过椭圆C x^2/4b^2+y^2/b^2=1(b>0)右焦点F且斜率为k的直线与C相交与A、B两点,若向量AF=3向量FB,则k为?

计算的过程比较长：
设右焦点F(c,0)
c^2 = 4b^2 -b^2 = 3b^2
A、B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2) A左B右
A、B两点作垂线到x轴,得两个相似三角形,相似比 3：1
(c-x1)/ (x2-c) = AF/ FB = 3
得
3 *x2 + x1 = 4c
设直线为
y = k (x -c)
代入椭圆方程求交点
x^2/4b^2+y^2/b^2=1
整理得　
(1+4k^2)* x^2 - 8k^2 *cx + 4k^2* c^2 -4b^2 =0
x1 + x 2 = 8k^2 *c/(1+4k^2)
x1 * x2 = (4k^2* c^2 -4b^2) /(1+4k^2)
用方程组解出 x1,x2　
3 *x2 + x1 = 4c
x1 + x 2 = 8k^2 *c/(1+4k^2)
x1 = c * (4k^2 -2) /(1+4k^2)
x2 = c * (4k^2 +2) /(1+4k^2)
x1 *x2 = c^2 *(16k^4 -4) /(1+4k^2)^2
x1 *x2又等于(4k^2* c^2 -4b^2) /(1+4k^2)
得
c^2 *(16k^4 -4) = (4k^2* c^2 -4b^2) *(1+4k^2)
整理得
4k^2* c^2 -16 k^2 *b^2 -4b^2 +4c^2 =0
代入c^2 = 3b^2两边除以 4b^2,
3*k^2 -4K^2 -1 +3 =0
K^2=2
k = - √2