求幂级数的收敛半级，收敛区间和收敛域

求幂级数的收敛半级，收敛区间和收敛域

解：(1)小题，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+3)/(2n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/R<1，∴收敛区间为丨x丨而，x=1时，级数∑(-1)^n/(2n+1)是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛；x=-1时，级数∑1/(2n+1)~(1/2)∑1/n，发散。∴收敛域为x∈(-1,1]。
(2)小题，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1/3，∴收敛半径R=1/ρ=3。又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=x²/R<1，∴收敛区间为丨x丨<√R=√3。
而，x=±√3时，级数∑x^(2n)/3^n均发散。∴收敛域为x∈(-√3,√3)。
(3)小题，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(n+1)/(n+2)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨2x-1丨/R<1，∴收敛区间为丨2x-1丨<1，即0而，x=1时，级数∑1/[n(n+1)]=1-lim(n→∞)1/(n+1)=1，收敛；x=-1时，级数∑(-1)^n/[n(n+1)]，收敛。∴收敛域为x∈[-1,1]。
供参考。