xy''-xy'-y=0
y(0)=0, y'(0)=1
求解带初值的微分方程
答案:2 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-02-06 06:06
- 提问者网友：送舟行
- 2021-02-06 00:46
最佳答案
- 五星知识达人网友：大漠
- 2021-02-06 01:37
(xy)'=y+xy'
(xy)''=xy''+2y'
xy''-xy'-y=0
xy''=xy'+y
(xy)''-2y'=(xy)'
u=xy,v=y
u''-2v'=u'
u''-u'=2v'
两边积分得
u'-u=2v
u=C1e^v+e^(-v)+C
即xy=C1e^y+e(-y)+C
y(0)=0,即0=C1+1+C
(xy)''=xy''+2y'
xy''-xy'-y=0
xy''=xy'+y
(xy)''-2y'=(xy)'
u=xy,v=y
u''-2v'=u'
u''-u'=2v'
两边积分得
u'-u=2v
u=C1e^v+e^(-v)+C
即xy=C1e^y+e(-y)+C
y(0)=0,即0=C1+1+C
全部回答
- 1楼网友：渊鱼
- 2021-02-06 03:17
解：设y=xt，则t=y/x，y'=xt'+t 代入原方程得xt'+t+t=1/t ==>xt'=(1-2t²)/t ==>tdt/(1-2t²)=dx/x ==>d(1-2t²)/(1-2t²)=-4dx/x ==>ln│1-2t²│=-4ln│x│+ln│c│(c是积分常数) ==>1-2t²=c/x^4 ==>(1-2(y/x)²)x^4=c ==>x²(x²-2y²)=c 故原微分方程的通解是x²(x²-2y²)=c(c是积分常数)
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