直角三角形ABC，斜边BC=3，长为6的线段MN以A为中点，问向量MN与向量BC的夹角为几度时，向量BM乘向量CN值最大，求最大值

直角三角形ABC，斜边BC=3，长为6的线段MN以A为中点，问向量MN与向量BC的夹角为几度时，向量BM乘向量CN值最大，求最大值

 以A为原点，分别以向量AC，向量AB为Y轴，X轴方向建立平面坐标系，并设点B，C，M，N的坐标分别为B(b,0) C(0.c) M(x,y) N(-x,-y) 点M，N关于原点对称.
则 向量MN=(-2x,-2y)
向量BC=（-b,c）
向量BM=(x-b,y)
向量CN=(-x,-y-c)
设向量MN与向量BC的夹角A (0度<=A<=180度)。
由已知，有 x^2+y^2=9,b^2+c^2=9.
cosA=(向量MN)·(向量BC)/（|MN|*|BC|）=（2bx-2cy）/{[(b*b+c*c)^(1/2)]*[2(x*x+y*y)^(1/2)]}=(bx-cy)/9
(向量BM)·(向量CN)=-x*x-y*y+bx-cy=bx-cy-9=9(cosA-1)
很明显当cosA=1,即A=0度时，(向量BM)·(向量CN)最大，为0（垂直了）.