已知f（x）=ex+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x-y-3=0垂直．（Ⅰ）求a的

已知f（x）=ex+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x-y-3=0垂直．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x＞0时，ex＞x2；（Ⅲ）设F（x）=f（x）-ex+13x3+mx2+1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围．

解答：解（Ⅰ）由题意知，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为-1．
由f（x）=ex+2ax，得f'（x）=ex+2a，
∴f'（0）=1+2a=-1，
得a=-1
∴f（x）=ex-2x，f'（x）=ex-2
令f'（x）=0，得x=ln2
当x＜ln2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）的单调递增区间为（ln2，+∞），单调递减区间为（-∞，ln2）．
（Ⅱ）令g（x）=ex-x2，则g'（x）=ex-2x
由（Ⅰ）知，f（x）的极小值即最小值[f（x）]min=f（ln2）=2-2ln2＞0，
∴g'（x）=f（x）＞0，
故g（x）在R上单调递增，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）=1＞0，即ex＞x2．
（Ⅲ）由题意知，F(x)＝
1
3 x3+mx2?2x+1，
∵F（x）在（1，3）上单调递减，
∴F'（x）=x2+2mx-2≤0在（1，3）恒成立，
∴F′（x）图象过点（0，-2），
∴







F′(1)＝1+2m?2≤0
F(3)＝9+6m?2≤0 ，
m≤?
7
6 ，
所以满足实数m的取值范围为（-∞，-
7
6 ）．

任务占坑